ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 8 клас · урок 2 от 7

Окръжност, вписана в триъгълник

Във всеки триъгълник може да се впише единствена окръжност, която се допира до трите му страни. Центърът ѝ е пресечната точка на ъглополовящите и е на равни разстояния от страните. Радиусът r се намира от лицето S и полупериметъра p по формулата r = S/p. Допирателните отсечки от един връх до двете допирни точки са равни, а от връх A до допирната точка е p − a.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Центърът I е пресечната точка на ъглополовящите.
  • r = S/p, където p е полупериметърът.
  • Правоъгълен триъгълник: r = (a + b − c)/2.
  • Допирателната отсечка от върха A е p − a.
  • Равностранен триъгълник: r е 1/3 от височината.

Пример

Катети 5 cm и 12 cm, хипотенуза 13 cm: r = (5 + 12 − 13)/2 = 2 cm.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Центърът на вписаната в триъгълник окръжност е пресечната точка на:
    • симетралите на страните
    • медианите
    • височините
    • ъглополовящите

    Отговор: ъглополовящите

    Всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от раменете на ъгъла.

  2. Намерете радиуса на вписаната окръжност в правоъгълен триъгълник с катети 5 cm и 12 cm.
    • 6,5 cm
    • 3 cm
    • 2 cm
    • 4 cm

    Отговор: 2 cm

    r = (a + b − c)/2 = (5 + 12 − 13)/2 = 2 cm.

  3. Лицето на триъгълник е 30 cm², а периметърът му е 20 cm. Намерете радиуса на вписаната окръжност.
    • 1,5 cm
    • 3 cm
    • 6 cm
    • 10 cm

    Отговор: 3 cm

    S = p·r, където p = 10 cm е полупериметърът: r = 30 : 10 = 3 cm.

  4. Вписаната в триъгълника ABC окръжност се допира до AB в точка M. AB = 8 cm, BC = 10 cm и CA = 12 cm. Намерете AM.
    • 5 cm
    • 3 cm
    • 7 cm
    • 4 cm

    Отговор: 5 cm

    Допирателните отсечки от един връх са равни: AM = p − BC = 15 − 10 = 5 cm.

  5. Височината на равностранен триъгълник е 12 cm. Намерете радиуса на вписаната окръжност.
    • 6 cm
    • 8 cm
    • 3 cm
    • 4 cm

    Отговор: 4 cm

    В равностранния триъгълник центърът е медицентър, затова r = h/3 = 4 cm.

  6. Вписаната в триъгълник окръжност се допира до:
    • трите върха
    • трите медиани
    • само до най-дългата страна
    • трите страни

    Отговор: трите страни

    Вписаната окръжност се допира до трите страни на триъгълника.

  7. Центърът на вписаната в триъгълник окръжност е на равни разстояния от:
    • трите страни
    • трите върха
    • средите на страните
    • медицентъра и върховете

    Отговор: трите страни

    Центърът лежи на ъглополовящите, затова е на равни разстояния (радиуса) от трите страни.

  8. Вписаната в триъгълника ABC окръжност се допира до AB, BC и CA в точките M, N и P. AM = 3 cm, BN = 4 cm и CP = 5 cm. Колко е периметърът на ABC?
    • 12 cm
    • 36 cm
    • 24 cm
    • 18 cm

    Отговор: 24 cm

    Допирателните отсечки от един връх са равни: AP = 3, BM = 4, CN = 5. Периметърът е 2(3 + 4 + 5) = 24 cm.

  9. Правоъгълен триъгълник има хипотенуза 13 cm, а радиусът на вписаната окръжност е 2 cm. Колко е сборът на катетите?
    • 15 cm
    • 21 cm
    • 13 cm
    • 17 cm

    Отговор: 17 cm

    В правоъгълен триъгълник r = (a + b − c)/2, затова a + b = 2·2 + 13 = 17 cm.

  10. Вписаната в правоъгълен триъгълник окръжност дели хипотенузата на отсечки 2 cm и 3 cm. Колко е лицето на триъгълника?
    • 12 cm2
    • 6 cm2
    • 7,5 cm2
    • 10 cm2

    Отговор: 6 cm2

    Катетите са r + 2 и r + 3, а хипотенузата е 5: (r + 2)2 + (r + 3)2 = 25, откъдето r = 1. Катетите са 3 и 4 cm, а лицето е 6 cm2.

  11. Къде се намира центърът на вписаната окръжност спрямо триъгълника?
    • винаги вън от него
    • на най-дългата страна
    • винаги вътре в него
    • зависи от вида на триъгълника

    Отговор: винаги вътре

    Ъглополовящите винаги се пресичат вътре в триъгълника.

  12. Периметърът на триъгълник е 24 cm, а радиусът на вписаната окръжност е 2 cm. Колко е лицето?
    • 48 cm2
    • 24 cm2
    • 12 cm2
    • 26 cm2

    Отговор: 24 cm2

    S = p · r = 12 · 2 = 24 cm2.

  13. Каква е връзката между радиусите R на описаната и r на вписаната окръжност при равностранен триъгълник?
    • R = 2r
    • R = r
    • R = 3r
    • r = 2R

    Отговор: R = 2r

    И двата центъра са медицентърът, който дели височината 2 : 1, затова R = 2h/3, r = h/3.

  14. Равнобедрен триъгълник има основа 10 cm и бедро 13 cm. Колко е радиусът на вписаната окръжност?
    • 4 cm
    • 5 cm
    • 12/5 cm
    • 10/3 cm

    Отговор: 10/3 cm

    h = √(169 − 25) = 12, S = 60 cm2, p = 18 cm, r = 60/18 = 10/3 cm.

  15. Правоъгълен триъгълник има катети 8 cm и 15 cm. Колко е разстоянието от центъра на вписаната окръжност до върха на правия ъгъл?
    • 3 cm
    • 6 cm
    • 3√2 cm
    • 2√3 cm

    Отговор: 3√2 cm

    c = 17, r = (8 + 15 − 17)/2 = 3. Центърът и допирните точки на катетите образуват квадрат със страна 3: разстоянието е 3√2 cm.