ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 8 клас · урок 3 от 11

Допирателни към окръжност

Допирателна е права, която има точно една обща точка с окръжността. Тя е перпендикулярна на радиуса, прекаран към допирната точка. От външна точка към окръжност могат да се построят точно две допирателни, а отсечките от точката до допирните точки са равни. Центърът на окръжност, вписана в ъгъл, лежи на ъглополовящата му.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.
  • От външна точка има две допирателни и допирателните отсечки са равни: AB = AC.
  • AB2 = AO2 − r2 (Питагорова теорема).
  • ∠BAC + ∠BOC = 180°, където B и C са допирните точки.

Пример

AO = 10 cm, r = 6 cm: AB = √(100 − 36) = 8 cm.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Какъв ъгъл сключва допирателната с радиуса към допирната точка?
    • 45°
    • 90°
    • 180°
    • 60°

    Отговор: 90°

    Допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.

  2. От точка A към окръжност са построени допирателните AB и AC (B и C са допирни точки), AB = 7 cm. Намерете AC.
    • 7 cm
    • 14 cm
    • 3,5 cm
    • 49 cm

    Отговор: 7 cm

    Допирателните отсечки от една външна точка са равни.

  3. Точка A е на разстояние 10 cm от центъра на окръжност с радиус 6 cm. Намерете дължината на допирателната отсечка от A.
    • 4 cm
    • 2√34 cm
    • 16 cm
    • 8 cm

    Отговор: 8 cm

    Триъгълникът с върхове A, центъра и допирната точка е правоъгълен: √(100 − 36) = 8 cm.

  4. От точка A са построени допирателните AB и AC към окръжност с център O, ∠BAC = 70°. Намерете ∠BOC.
    • 70°
    • 140°
    • 110°
    • 35°

    Отговор: 110°

    В четириъгълника ABOC ъглите при B и C са прави: ∠BOC = 360° − 90° − 90° − 70° = 110°.

  5. Окръжност с радиус 5 cm е вписана в ъгъл 60° (допира се до двете му рамена). Намерете разстоянието от върха на ъгъла до центъра на окръжността.
    • 5√3 cm
    • 10 cm
    • 5 cm
    • 5√2 cm

    Отговор: 10 cm

    Центърът е на ъглополовящата. В правоъгълния триъгълник с ъгъл 30° катетът 5 cm е срещу него, затова хипотенузата е 10 cm.

  6. Колко допирателни към окръжност могат да се построят от външна точка?
    • 1
    • 3
    • безброй много
    • 2

    Отговор: 2

    От външна точка към окръжност минават точно две допирателни.

  7. AT е допирателна към окръжност с център O (T е допирната точка) и ∠TAO = 30°. Колко е ∠AOT?
    • 60°
    • 30°
    • 90°
    • 120°

    Отговор: 60°

    ∠ATO = 90°, затова ∠AOT = 180° − 90° − 30° = 60°.

  8. Окръжност е вписана в ъгъл (допира се до двете му рамена). Къде лежи центърът ѝ?
    • на едното рамо
    • на симетралата на едното рамо
    • на ъглополовящата на ъгъла
    • във върха на ъгъла

    Отговор: на ъглополовящата на ъгъла

    Центърът е на равни разстояния (радиуса) от двете рамена, затова лежи на ъглополовящата.

  9. От точка A към окръжност с радиус 4 cm са построени допирателните AB и AC (B и C са допирни точки) и ∠BAC = 90°. Колко е AB?
    • 8 cm
    • 4√2 cm
    • 2 cm
    • 4 cm

    Отговор: 4 cm

    Четириъгълникът ABOC има три прави ъгъла и OB = OC, затова е квадрат и AB = 4 cm.

  10. Допирателната в точка T на окръжност с център O и радиус 4 cm пресича продължението на диаметъра AB след B в точка P, ∠TPO = 30°. Колко е PB?
    • 8 cm
    • 4 cm
    • 12 cm
    • 4√3 cm

    Отговор: 4 cm

    Триъгълникът OTP е правоъгълен (∠T = 90°), а OT лежи срещу ъгъл 30°, затова OP = 2·4 = 8 cm и PB = 8 − 4 = 4 cm.

  11. Колко общи точки има допирателната с окръжността?
    • две
    • нито една
    • безброй много
    • точно една

    Отговор: точно една

    По определение допирателната има точно една обща точка с окръжността.

  12. Колко допирателни към окръжност могат да се построят от вътрешна точка?
    • една
    • две
    • нито една
    • безброй много

    Отговор: нито една

    Всяка права през вътрешна точка пресича окръжността в две точки, затова не е допирателна.

  13. AB е диаметър на окръжност. Какво е взаимното положение на допирателните в точките A и B?
    • перпендикулярни
    • успоредни
    • пресичат се под 60°
    • съвпадат

    Отговор: успоредни

    И двете допирателни са перпендикулярни на диаметъра AB, затова са успоредни.

  14. AB е допирателна в точка B към окръжност с център O и радиус 6 cm, а ∠AOB = 60°. Колко е AO?
    • 12 cm
    • 6 cm
    • 3 cm
    • 18 cm

    Отговор: 12 cm

    ∠OBA = 90°, затова ∠OAB = 30°. Катетът OB срещу 30° е половината от хипотенузата: AO = 2 · 6 = 12 cm.

  15. AB е диаметър на окръжност с център O, AB = 10 cm. Трета допирателна пресича допирателните в A и B в точките C и D, AC = 2 cm. Колко е BD?
    • 8 cm
    • 10 cm
    • 5 cm
    • 12,5 cm

    Отговор: 12,5 cm

    OC и OD са ъглополовящи на съседни ъгли, затова ∠COD = 90°. Височината от O към CD е r = 5 и дели CD на отсечки 2 cm и BD, затова 2 · BD = 25, BD = 12,5 cm.