Централни ъгли, дъги и хорди
Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността. Градусната мярка на дъгата е равна на централния ъгъл, който се опира на нея, а цялата окръжност е 360°. В една окръжност на равни хорди съответстват равни дъги и равни централни ъгли, и обратно. Най-дългата хорда е диаметърът.
Какво да запомним
- Централният ъгъл е равен на дъгата, на която се опира.
- Цялата окръжност е 360°, полуокръжността е 180°.
- Равни хорди ⇔ равни дъги ⇔ равни централни ъгли.
- Хорда, равна на радиуса, се вижда от центъра под ъгъл 60°.
- Диаметърът е най-дългата хорда: d = 2r.
Пример
Точките A, B и C делят окръжността в отношение 2 : 3 : 4: една част е 360° : 9 = 40°, а дъгите са 80°, 120° и 160°.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Централен ъгъл се опира на дъга 80°. Колко градуса е ъгълът?
- 80°
- 40°
- 160°
- 100°
Отговор: 80°
Централният ъгъл е равен на дъгата, на която се опира.
Хорда е равна на радиуса на окръжността. Под какъв ъгъл се вижда тя от центъра?
- 90°
- 30°
- 120°
- 60°
Отговор: 60°
Хордата и двата радиуса образуват равностранен триъгълник.
Точките A, B и C делят окръжност на три дъги, които се отнасят както 2 : 3 : 4. Колко градуса е най-голямата дъга?
- 120°
- 160°
- 80°
- 200°
Отговор: 160°
Частите са 9, всяка по 40°. Най-голямата дъга е 4·40° = 160°.
Диаметърът е хорда, която минава през:
- допирната точка
- средата на радиуса
- центъра
- външна точка
Отговор: центъра
Диаметърът е хорда, която минава през центъра на окръжността.
Колко градуса е дъга, която е една четвърт от окръжността?
- 90°
- 45°
- 180°
- 120°
Отговор: 90°
Цялата окръжност е 360°, а 360° : 4 = 90°.
Какви дъги отсичат две равни хорди от една окръжност?
- различни дъги
- винаги полуокръжности
- винаги дъги от 60°
- равни дъги
Отговор: равни дъги
В една окръжност равните хорди отсичат равни дъги (и се виждат от центъра под равни ъгли).
Хордата AB в окръжност с радиус 6 cm се вижда от центъра под ъгъл 90°. Колко е AB?
- 6 cm
- 6√2 cm
- 12 cm
- 3√2 cm
Отговор: 6√2 cm
Триъгълникът AOB е правоъгълен и равнобедрен с катети 6 cm: AB = 6√2 cm.
Колко е най-дългата хорда в окръжност с радиус 9 cm?
- 18 cm
- 9 cm
- 12 cm
- 36 cm
Отговор: 18 cm
Най-дългата хорда е диаметърът: 2·9 = 18 cm.
Колко градуса е цялата окръжност?
- 360°
- 180°
- 90°
- 270°
Отговор: 360°
Цялата окръжност съответства на пълен ъгъл от 360°.
Централен ъгъл е 72°. Каква част от окръжността е дъгата, на която се опира?
- 1/4
- 1/6
- 1/3
- 1/5
Отговор: 1/5
72° : 360° = 1/5.
Колко градуса е дъгата, която описва върхът на минутната стрелка за 20 минути?
- 20°
- 60°
- 120°
- 200°
Отговор: 120°
За 60 минути стрелката описва 360°, а за 20 минути една трета: 360° : 3 = 120°.
В една окръжност хордите AB и CD са равни, ∠AOB = 2x + 10°, а ∠COD = 70°. Колко е x?
- 35°
- 30°
- 40°
- 25°
Отговор: 30°
Равни хорди имат равни централни ъгли: 2x + 10° = 70°, 2x = 60°, x = 30°.
Хордата AB в окръжност с радиус 10 cm се вижда от центъра O под ъгъл 60°. Колко е периметърът на триъгълника AOB?
- 30 cm
- 20 cm
- 25 cm
- 40 cm
Отговор: 30 cm
OA = OB и ∠AOB = 60°, затова триъгълникът е равностранен и AB = 10 cm. P = 3 · 10 = 30 cm.
Хордата AB дели окръжността на две дъги, едната от които е със 100° по-голяма от другата. Колко е по-малката дъга?
- 100°
- 160°
- 80°
- 130°
Отговор: 130°
x + (x + 100°) = 360°, 2x = 260°, x = 130°.
Правилен шестоъгълник е вписан в окръжност с радиус 7 cm. Колко е периметърът му?
- 21 cm
- 84 cm
- 42 cm
- 49 cm
Отговор: 42 cm
Всяка страна се вижда от центъра под 360° : 6 = 60°, затова е равна на радиуса: P = 6 · 7 = 42 cm.