Рационални дроби. Дефиниционно множество
Рационална дроб е частно на два многочлена, например (x + 1)/(x − 4). Тъй като на нула не се дели, дробта е определена само когато знаменателят е различен от 0. Множеството от стойностите на променливата, при които изразът има смисъл, се нарича дефиниционно множество (допустими стойности). Дробта е равна на 0, когато числителят е 0, а знаменателят не е 0.
Какво да запомним
- Знаменателят не може да е 0.
- Допустимите стойности намираме, като решим знаменател = 0 и изключим корените.
- Дробта е 0 ⇔ числителят е 0 и знаменателят е различен от 0.
- Ако знаменателят никога не е 0 (например x2 + 4), дробта е определена за всяко x.
Пример
За (x + 1)/(x2 − 25): x2 − 25 ≠ 0, затова x ≠ 5 и x ≠ −5.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
При коя стойност на x дробта 5/(x − 4) НЕ е определена?
- x = −4
- x = 5
- x = 0
- x = 4
Отговор: x = 4
Знаменателят не може да е 0: x − 4 = 0 при x = 4.
Намерете допустимите стойности на израза (x + 1)/(x2 − 25).
- x ≠ 5
- x ≠ −1
- x ≠ ±5
- x ≠ 25
Отговор: x ≠ ±5
x2 − 25 = 0 при x = 5 и x = −5.
Кое е дефиниционното множество на израза 3/(x2 + 4)?
- x ≠ ±2
- всички реални числа
- x ≠ −4
- x ≠ 2
Отговор: всички реални числа
x2 + 4 ≥ 4 за всяко x, затова знаменателят никога не е 0.
Намерете допустимите стойности на израза x/(x2 − 3x).
- x ≠ 0 и x ≠ 3
- x ≠ 3
- x ≠ 0 и x ≠ −3
- x ≠ ±3
Отговор: x ≠ 0 и x ≠ 3
x2 − 3x = x(x − 3) = 0 при x = 0 и x = 3.
За коя стойност на x дробта (x2 − 9)/(x2 + 3x) е равна на 0?
- x = ±3
- x = −3
- x = 0 и x = 3
- x = 3
Отговор: x = 3
Числителят е 0 при x = ±3, но при x = −3 знаменателят също е 0. Остава x = 3.
На какво НЕ може да е равен знаменателят на една дроб?
- на отрицателно число
- на единица
- на нула
- на дроб
Отговор: на нула
Делението на нула не е определено, затова знаменателят не може да е 0.
При коя стойност на x дробта (x − 7)/(x + 2) е равна на 0?
- x = 7
- x = −2
- x = 0
- x = −7
Отговор: x = 7
Дробта е 0, когато числителят е 0, а знаменателят не е: x = 7 (тогава x + 2 = 9 ≠ 0).
Кое е дефиниционното множество на израза 1/x + 1/(x − 1)?
- x ≠ 1
- x ≠ 0
- всички реални числа
- x ≠ 0 и x ≠ 1
Отговор: x ≠ 0 и x ≠ 1
Двата знаменателя трябва да са различни от 0: x ≠ 0 и x − 1 ≠ 0.
За колко стойности на x изразът 1/(x2 − 5x + 6) НЕ е определен?
- 1
- 2
- 0
- 3
Отговор: 2
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 при x = 2 и x = 3, т.е. за 2 стойности.
Кои са допустимите стойности на израза 1/(x − 1/x)?
- x ≠ 0
- x ≠ 0, x ≠ 1 и x ≠ −1
- x ≠ 1 и x ≠ −1
- x ≠ 1
Отговор: x ≠ 0, x ≠ 1 и x ≠ −1
Трябва x ≠ 0 (заради 1/x) и x − 1/x ≠ 0, т.е. x2 ≠ 1 и x ≠ ±1.
Кой от изразите е рационална дроб с променлива в знаменателя?
- x2 + 1
- 2x/(x + 3)
- 3x − 5
- (x + 4)/2
Отговор: 2x/(x + 3)
Само в 2x/(x + 3) знаменателят съдържа променливата.
Колко е стойността на дробта (x + 1)/(x − 1) при x = 3?
- 2
- 1
- 4
- 1/2
Отговор: 2
(3 + 1)/(3 − 1) = 4/2 = 2.
Кое е дефиниционното множество на израза 1/(x2 + 2x + 1)?
- x ≠ 1
- x ≠ ±1
- всички реални числа
- x ≠ −1
Отговор: x ≠ −1
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2, а то е 0 само при x = −1.
Равни ли са изразите (x2 − 4)/(x + 2) и x − 2 за всяко x?
- да, за всяко x
- само при x ≠ 2
- само при x ≠ −2
- никога
Отговор: само при x ≠ −2
След съкращаване се получава x − 2, но лявата страна не е определена при x = −2.
За кои стойности на x дробта (x − 2)/(x2 + 1) е отрицателна?
- x > 2
- x < 2
- x < −1
- за никои
Отговор: x < 2
Знаменателят x2 + 1 е винаги положителен, затова знакът зависи само от x − 2 < 0.