Метод на интервалите
Методът на интервалите е общ начин за решаване на неравенства, в които има произведение (или частно) на множители. Нанасяме нулите на всички множители върху числовата ос, те я разделят на интервали. Във всеки интервал изразът запазва знака си, затова е достатъчно да проверим едно число или да редуваме знаците от най-десния интервал. Накрая избираме интервалите със знака, който иска неравенството.
Какво да запомним
- Разлагаме израза на множители и намираме нулите им.
- n различни нули делят оста на n + 1 интервала.
- При проста нула знакът се сменя.
- В най-десния интервал знакът е като на старшия коефициент.
Пример
x(x − 3)(x + 2) > 0: нулите са −2, 0, 3. Знаците отдясно наляво са +, −, +, −, затова x ∈ (−2; 0) ∪ (3; +∞).
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете неравенството x(x − 3)(x + 2) > 0.
- x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; 3)
- x ∈ (−2; 0) ∪ (3; +∞)
- x ∈ (3; +∞)
- x ∈ (−2; 3)
Отговор: x ∈ (−2; 0) ∪ (3; +∞)
Нулите са −2, 0 и 3; знаците отдясно наляво са +, −, +, −.
Решете неравенството (x − 1)(x − 4)(x − 6) ≤ 0.
- x ∈ [1; 4] ∪ [6; +∞)
- x ∈ [4; 6]
- x ∈ (−∞; 1] ∪ [4; 6]
- x ∈ (−∞; 1) ∪ (4; 6)
Отговор: x ∈ (−∞; 1] ∪ [4; 6]
Нулите са 1, 4 и 6; знаците отдясно наляво са +, −, +, −, а нулите са решения.
Решете неравенството (x + 1)(x − 3)(x − 5) > 0.
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; 5)
- x ∈ (−1; 3) ∪ (5; +∞)
- x ∈ (−1; 5)
- x ∈ (3; 5)
Отговор: x ∈ (−1; 3) ∪ (5; +∞)
Нулите са −1, 3 и 5. Вдясно от 5 изразът е положителен, после знаците се редуват.
На колко интервала делят числовата ос нулите −1, 2 и 5?
- 3
- 4
- 5
- 2
Отговор: 4
Три точки делят оста на 4 интервала: (−∞; −1), (−1; 2), (2; 5) и (5; +∞).
Решете неравенството (x + 2)(x − 1)(x − 4) < 0.
- x ∈ (−∞; −2) ∪ (1; 4)
- x ∈ (−2; 1) ∪ (4; +∞)
- x ∈ (1; 4)
- x ∈ (−∞; −2)
Отговор: x ∈ (−∞; −2) ∪ (1; 4)
Нулите са −2, 1, 4. Отдясно наляво знаците са +, −, +, −, затова изразът е отрицателен в (−∞; −2) и (1; 4).
Какъв е знакът на израза (x − 1)(x − 2)(x − 3) в интервала (3; +∞)?
- положителен
- отрицателен
- нула
- не може да се определи
Отговор: положителен
За x > 3 и трите множителя са положителни.
Кои са нулите на израза x(x + 4)(x − 1)?
- 0, 4 и −1
- −4 и 1
- 0, −4 и 1
- 4 и 1
Отговор: 0, −4 и 1
Всеки множител става 0 съответно при x = 0, x = −4 и x = 1.
Решете неравенството (x − 2)(x + 3)(x − 6) ≥ 0.
- x ∈ (−∞; −3] ∪ [2; 6]
- x ∈ (−3; 2) ∪ (6; +∞)
- x ∈ [−3; 2] ∪ [6; +∞)
- x ∈ [−3; 6]
Отговор: x ∈ [−3; 2] ∪ [6; +∞)
Нулите са −3, 2, 6. Знаците отдясно наляво: +, −, +, −.
Какъв е знакът на израза (x + 5)(x − 1)(x − 4) при x = 2?
- отрицателен
- положителен
- нула
- не е определен
Отговор: отрицателен
7 · 1 · (−2) = −14 < 0.
Решете неравенството (2 − x)(x + 1)(x − 3) > 0.
- x ∈ (−1; 2) ∪ (3; +∞)
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
- x ∈ (2; 3)
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; 3)
Отговор: x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; 3)
Равносилно е на (x + 1)(x − 2)(x − 3) < 0. Нули −1, 2, 3; знаци отдясно: +, −, +, −.
Решете неравенството x(x − 5)(x + 5) ≤ 0.
- x ∈ [−5; 0] ∪ [5; +∞)
- x ∈ (−∞; −5] ∪ [0; 5]
- x ∈ [−5; 5]
- x ∈ (−∞; −5) ∪ (0; 5)
Отговор: x ∈ (−∞; −5] ∪ [0; 5]
Нули −5, 0, 5; знаци отдясно наляво: +, −, +, −. Вземаме минусите с нулите.
Колко положителни цели числа са решения на неравенството (x − 1)(x − 4)(x − 7) < 0?
- 3
- 2
- 4
- 1
Отговор: 2
Решенията са (−∞; 1) ∪ (4; 7). Положителните цели в тях са 5 и 6.
Решете неравенството (x2 − 4)(x − 3) > 0.
- x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; 3)
- x ∈ (2; 3)
- x ∈ (−2; 3)
- x ∈ (−2; 2) ∪ (3; +∞)
Отговор: x ∈ (−2; 2) ∪ (3; +∞)
(x − 2)(x + 2)(x − 3) > 0. Нули −2, 2, 3; знаци отдясно: +, −, +, −.
Решете неравенството (1 − x)(2 − x)(3 − x) ≥ 0.
- x ∈ (−∞; 1] ∪ [2; 3]
- x ∈ [1; 2] ∪ [3; +∞)
- x ∈ [1; 3]
- x ∈ (−∞; 1) ∪ (2; 3)
Отговор: x ∈ (−∞; 1] ∪ [2; 3]
Изнасяме три пъти −1: (x − 1)(x − 2)(x − 3) ≤ 0. Знаци отдясно: +, −, +, −.
Кое е най-голямото отрицателно цяло решение на (x + 2)(x − 1)(x − 4) ≤ 0?
- −1
- −3
- −2
- 1
Отговор: −2
Решенията са (−∞; −2] ∪ [1; 4]. Най-голямото отрицателно цяло е −2.