ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 9 клас · урок 6 от 7

Неравенства от по-висока степен

Неравенства от по-висока степен (трета, четвърта) решаваме, като разложим многочлена на множители и приложим метода на интервалите. Внимаваме с двойните нули: при тях знакът не се сменя, а самата точка е решение само ако неравенството е нестрого. Множители, които са винаги положителни (например x2 + 1), не влияят на знака и можем да ги пропуснем.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Изнасяме общ множител и ползваме формулите за съкратено умножение.
  • При двойна нула (x − a)2 знакът не се сменя.
  • x2 + 1 > 0 за всяко x, не променя знака.
  • x3 − 9x = x(x − 3)(x + 3).

Пример

x3 − 9x < 0 е x(x − 3)(x + 3) < 0. Нулите са −3, 0, 3 и решението е x ∈ (−∞; −3) ∪ (0; 3).

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Решете неравенството x3 − 9x < 0.
    • x ∈ (−3; 0) ∪ (3; +∞)
    • x ∈ (−3; 3)
    • x ∈ (0; 3)
    • x ∈ (−∞; −3) ∪ (0; 3)

    Отговор: x ∈ (−∞; −3) ∪ (0; 3)

    x(x − 3)(x + 3) < 0, нулите са −3, 0 и 3.

  2. Решете неравенството (x + 1)2(x − 2) < 0.
    • x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 2)
    • x ∈ (−∞; 2)
    • x ∈ (−1; 2)
    • x ∈ (2; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 2)

    (x + 1)2 ≥ 0 и е 0 при x = −1, затова x − 2 < 0 и x ≠ −1.

  3. Колко цели числа са решения на неравенството (x2 − 1)(x2 − 16) ≤ 0?
    • 6
    • 8
    • 9
    • 10

    Отговор: 8

    Нулите са ±1 и ±4. Решенията са [−4; −1] ∪ [1; 4], т.е. 8 цели числа.

  4. Решете неравенството x(x − 3)2 ≥ 0.
    • x ∈ [0; +∞)
    • x ∈ [0; 3) ∪ (3; +∞)
    • x ∈ (−∞; 0]
    • x ∈ [0; 3]

    Отговор: x ∈ [0; +∞)

    (x − 3)2 ≥ 0 винаги, затова е нужно x ≥ 0; при x = 3 изразът е 0 и също е решение.

  5. Решете неравенството (x2 − 9)(x2 + 1)(x − 1) ≥ 0.
    • x ∈ (−∞; −3] ∪ [1; 3]
    • x ∈ [−3; 3]
    • x ∈ [−3; 1] ∪ [3; +∞)
    • x ∈ [1; 3]

    Отговор: x ∈ [−3; 1] ∪ [3; +∞)

    x2 + 1 > 0 и не влияе на знака. Нулите са −3, 1 и 3; вдясно от 3 изразът е положителен, а знаците се редуват.

  6. Кой от изразите е положителен за всяко x?
    • x2 − 1
    • x + 1
    • x2 + 1
    • x3

    Отговор: x2 + 1

    x2 ≥ 0, затова x2 + 1 ≥ 1 > 0.

  7. Как се разлага на множители x3 − 4x?
    • x(x − 2)(x + 2)
    • x(x − 4)(x + 4)
    • x2(x − 4)
    • x(x − 2)2

    Отговор: x(x − 2)(x + 2)

    Изнасяме x: x(x2 − 4) = x(x − 2)(x + 2).

  8. Сменя ли знака си изразът (x − 2)2 при преминаване през x = 2?
    • сменя се
    • става отрицателен
    • зависи от x
    • не се сменя

    Отговор: не се сменя

    (x − 2)2 ≥ 0 от двете страни на 2, това е двойна нула.

  9. Решете неравенството x3 > 0.
    • x ∈ (−∞; 0)
    • x ∈ (0; +∞)
    • x ≠ 0
    • x ∈ [0; +∞)

    Отговор: x ∈ (0; +∞)

    Кубът има знака на x, затова x3 > 0 точно при x > 0.

  10. Решете неравенството x2(x − 5) < 0.
    • x ∈ (−∞; 5)
    • x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 5)
    • x ∈ (0; 5)
    • x ∈ (5; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 5)

    x2 > 0 при x ≠ 0, затова трябва x − 5 < 0 и x ≠ 0.

  11. Кои са реалните нули на израза x4 − 16?
    • 4 и −4
    • 2, −2 и 4
    • само 16
    • 2 и −2

    Отговор: 2 и −2

    x4 − 16 = (x2 − 4)(x2 + 4); вторият множител няма нули.

  12. Решете неравенството x4 − 16 ≤ 0.
    • x ∈ [−2; 2]
    • x ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞)
    • x ∈ [−4; 4]
    • x ∈ (−2; 2)

    Отговор: x ∈ [−2; 2]

    x2 + 4 > 0, остава x2 − 4 ≤ 0, т.е. −2 ≤ x ≤ 2.

  13. Решете неравенството x3 − x2 ≥ 0.
    • x ∈ [1; +∞)
    • x ∈ [0; 1]
    • x ∈ {0} ∪ [1; +∞)
    • x ∈ (−∞; 0] ∪ [1; +∞)

    Отговор: x ∈ {0} ∪ [1; +∞)

    x2(x − 1) ≥ 0: или x = 0 (двойна нула), или x − 1 ≥ 0.

  14. Решете неравенството x3 + 2x2 − 3x > 0.
    • x ∈ (−∞; −3) ∪ (0; 1)
    • x ∈ (−3; 1)
    • x ∈ (−3; 0) ∪ (1; +∞)
    • x ∈ (1; +∞)

    Отговор: x ∈ (−3; 0) ∪ (1; +∞)

    x(x + 3)(x − 1) > 0. Нули −3, 0, 1; знаци отдясно: +, −, +, −.

  15. Колко цели числа са решения на неравенството (x − 1)2(x + 2)(x − 4) < 0?
    • 4
    • 5
    • 3
    • 6

    Отговор: 4

    Трябва (x + 2)(x − 4) < 0, т.е. −2 < x < 4, и x ≠ 1. Целите са −1, 0, 2, 3.