ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 9 клас · урок 8 от 8

Метрични зависимости между отсечки в окръжност

В окръжност има няколко важни зависимости между отсечки. Ако две хорди се пресичат, произведенията на отсечките им са равни. Ако от външна точка прекараме секущи, произведението на цялата секуща и външната ѝ част е едно и също, а то е равно и на квадрата на допирателната. Диаметър, перпендикулярен на хорда, я разполовява, което позволява да намерим разстоянието от центъра до хордата.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Хорди AB и CD през M: AM · MB = CM · MD.
  • Секущи от M: MA · MB = MC · MD.
  • Допирателна и секуща: MT2 = MA · MB.
  • Допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.
  • Разстояние до хорда: d2 = r2 − (AB/2)2.

Пример

AM = 3 cm, MB = 8 cm и CM = 4 cm. От 3 · 8 = 4 · MD получаваме MD = 6 cm.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Хордите AB и CD на окръжност се пресичат в точка M. AM = 3 cm, MB = 8 cm и CM = 4 cm. Колко е MD?
    • 7 cm
    • 1,5 cm
    • 9 cm
    • 6 cm

    Отговор: 6 cm

    AM · MB = CM · MD: 24 = 4 · MD, MD = 6 cm.

  2. От точка M вън от окръжност са построени допирателна MT = 6 cm и секуща, която пресича окръжността в A и B (A е между M и B), MA = 4 cm. Колко е MB?
    • 9 cm
    • 10 cm
    • 8 cm
    • 5 cm

    Отговор: 9 cm

    MT2 = MA · MB: 36 = 4 · MB, MB = 9 cm.

  3. От точка M вън от окръжност са построени две секущи: едната пресича окръжността в A и B, другата в C и D (A и C са по-близо до M). MA = 3 cm, AB = 5 cm и MC = 4 cm. Колко е MD?
    • 3,75 cm
    • 6 cm
    • 10 cm
    • 2 cm

    Отговор: 6 cm

    MA · MB = MC · MD: 3 · 8 = 4 · MD, MD = 6 cm.

  4. В окръжност с радиус 10 cm е прекарана хорда с дължина 16 cm. Колко е разстоянието от центъра до хордата?
    • 8 cm
    • 4 cm
    • 6 cm
    • 12 cm

    Отговор: 6 cm

    Перпендикулярът от центъра разполовява хордата: √(100 − 64) = 6 cm.

  5. Точка M е на разстояние 13 cm от центъра на окръжност с радиус 5 cm. Колко е дължината на допирателната от M до окръжността?
    • 8 cm
    • 18 cm
    • √194 cm
    • 12 cm

    Отговор: 12 cm

    Допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка: √(169 − 25) = 12 cm.

  6. Какъв ъгъл сключва допирателната към окръжност с радиуса към допирната точка?
    • 45°
    • 60°
    • 90°
    • 180°

    Отговор: 90°

    Допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.

  7. Точка M е вътрешна за окръжност, а произведението на отсечките на всяка хорда през M е 36 cm2. Колко е дължината на хордата, която се разполовява от M?
    • 12 cm
    • 6 cm
    • 18 cm
    • 36 cm

    Отговор: 12 cm

    Ако M е среда на хордата, двете отсечки са равни на x и x2 = 36, x = 6 cm; хордата е 12 cm.

  8. Диаметърът AB на окръжност е 20 cm. Хордата CD е перпендикулярна на AB и го пресича в точка M, като AM = 4 cm. Колко е CD?
    • 8 cm
    • 12 cm
    • 20 cm
    • 16 cm

    Отговор: 16 cm

    Диаметърът разполовява хордата: CM2 = AM · MB = 4 · 16 = 64, CM = 8 cm и CD = 16 cm.

  9. Две успоредни хорди на окръжност с радиус 13 cm имат дължини 10 cm и 24 cm и са от една и съща страна на центъра. Колко е разстоянието между тях?
    • 17 cm
    • 7 cm
    • 12 cm
    • 5 cm

    Отговор: 7 cm

    Разстоянията от центъра са √(169 − 25) = 12 cm и √(169 − 144) = 5 cm; разстоянието между хордите е 12 − 5 = 7 cm.

  10. От точка M са построени допирателна MT и секуща, която пресича окръжността в A и B (A е между M и B), като MA = AB. MT = 6√2 cm. Колко е MA?
    • 3√2 cm
    • 12 cm
    • 6√2 cm
    • 6 cm

    Отговор: 6 cm

    MT2 = MA · MB = MA · 2MA, 72 = 2MA2, MA2 = 36, MA = 6 cm.

  11. Хордите AB и CD на окръжност се пресичат в точка M. Кое равенство е вярно?
    • AM + MB = CM + MD
    • AM · CM = MB · MD
    • AM = CM
    • AM · MB = CM · MD

    Отговор: AM · MB = CM · MD

    За пресичащи се хорди произведенията на отсечките им са равни.

  12. Колко допирателни към окръжност могат да се построят от точка вън от нея?
    • 1
    • 2
    • 3
    • безброй

    Отговор: 2

    От външна точка има точно две допирателни, и отсечките им до допирните точки са равни.

  13. В окръжност с център O и радиус 5 cm е прекарана хорда AB = 8 cm. Колко е лицето на ΔAOB?
    • 24 cm2
    • 12 cm2
    • 20 cm2
    • 15 cm2

    Отговор: 12 cm2

    Разстоянието от O до AB е √(25 − 16) = 3 cm, S = 8 · 3/2 = 12 cm2.

  14. Две концентрични окръжности имат радиуси 5 cm и 13 cm. Хорда на голямата окръжност се допира до малката. Колко е хордата?
    • 12 cm
    • 18 cm
    • 16 cm
    • 24 cm

    Отговор: 24 cm

    Радиусът на малката към допирната точка е перпендикулярен на хордата. Половината ѝ е √(169 − 25) = 12 cm.

  15. От точка M вън от окръжност са построени допирателна MT = 12 cm и секуща през центъра, която пресича окръжността в A и B (A е между M и B), MA = 8 cm. Колко е радиусът?
    • 5 cm
    • 10 cm
    • 9 cm
    • 6 cm

    Отговор: 5 cm

    MT2 = MA · MB, 144 = 8 · MB, MB = 18 cm. AB = 10 cm е диаметър, r = 5 cm.