Числата на Фибоначи в природата
Открий тайната редица 1, 1, 2, 3, 5, 8, която се крие в слънчогледите, шишарките, пчелите и златното сечение.
Бип! Робко преброи спиралите на един слънчоглед и получи 34 в едната посока и 55 в другата. Случайност ли е? Не! Тези числа са от една тайна редица, която се крие в шишарки, ананаси и дори в родословието на пчелите.
История от живота
През 1202 г. италианецът Леонардо от Пиза, по-късно наречен Фибоначи, издава "Книга за смятането" (Liber Abaci). В нея той показва на европейците арабските цифри, които ползваме и днес, вместо римските. В книгата има задача за зайци: една двойка зайчета на всеки месец ражда нова двойка, а малките започват да раждат от втория си месец. Като броиш двойките месец по месец, получаваш 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... Всяко число е сбор на двете преди него. Интересното е, че индийски учени са описвали тази редица векове преди Фибоначи, докато са изучавали ритъма в стиховете.
Разбери го стъпка по стъпка
- Правилото
Започваш с 1 и 1. Всяко следващо число е сбор на двете предишни: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Числата растат все по-бързо.
- Златното отношение
Раздели число от редицата на предишното: 8 : 5 = 1,6; 13 : 8 = 1,625; 21 : 13 е около 1,615; 34 : 21 е около 1,619. Отношенията се приближават до около 1,618, т. нар. златно сечение, означавано с гръцката буква фи.
- Спиралите в растенията
Семките на слънчогледа, люспите на шишарките и ананаса са подредени в две групи спирали. Броят им често е две съседни числа на Фибоначи: при шишарките например 8 и 13, при слънчогледа 34 и 55 или 55 и 89. Не винаги, но много често.
- Защо растенията го правят
Всяко ново листо или семка расте под ъгъл около 137,5 градуса от предишното ("златният ъгъл"). Така семките се събират плътно, без празни места, а листата не се засенчват едно друго. Фибоначи се появява като страничен резултат от това пестене на място.
- Пчелите
Мъжката пчела (търтей) има само майка, а женската има и майка, и баща. Ако броиш предците на един търтей поколение назад, получаваш 1, 2, 3, 5, 8... отново Фибоначи!
Представи си така: Редицата на Фибоначи е като снежна топка, която търкаляш по склона: всеки нов слой е колкото последните два заедно, затова топката расте все по-бързо.
- Шишарка
- често 8 и 13 спирали
- Ананас
- често 5, 8 и 13 реда люспи
- Слънчоглед
- често 34 и 55 или 55 и 89 спирали
- Лилия
- 3 венчелистчета (6 с чашелистчетата)
- Цвят на шипка
- 5 венчелистчета
- Родословие на търтей
- 1, 2, 3, 5, 8 предци назад
Решени примери
По колко начина можеш да изкачиш стълба с 5 стъпала, ако на всяка крачка качваш 1 или 2 стъпала?
По 8 начина. За 1 стъпало има 1 начин, за 2 има 2, за 3 има 3, за 4 има 5, за 5 има 8. Всеки път начините са сбор на предишните два, защото последната крачка е или 1, или 2 стъпала.
Колко е сборът на първите 10 числа на Фибоначи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55)?
143. Има и хитрост: сборът е с 1 по-малко от числото две позиции напред (144 - 1 = 143).
Кои числа от редицата са четни?
2, 8, 34, 144... всяко трето число. Нечетно + нечетно = четно, после четно + нечетно = нечетно два пъти, и така се повтаря.
Внимавай с тези грешки
- Черупката на наутилуса е идеална златна спирала.Измерванията показват, че не е. Спиралата ѝ е красива, но съотношението ѝ е различно от 1,618.
- Всичко в природата следва числата на Фибоначи.Много растения го правят, но има и изключения, например шишарки с 7 и 11 спирали. Това е честа закономерност, не закон.
- Фибоначи е измислил редицата.Индийски учени са я описали векове по-рано. Фибоначи я прави известна в Европа.
Задачи
Лесни
Продължи редицата: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Подсказка
Събирай последните две числа.
Отговор
34, 55, 89, 144.
Разгледай шишарка или ананас. Брои спиралите в едната посока. Получи ли число от редицата?
Подсказка
Сложи точка с флумастер на люспата, от която започваш.
Отговор
Често 8 или 13 при шишарката, но може и друго, природата има изключения.
Средни
Пресметни 55 : 34 до хилядни. Близо ли е до 1,618?
Подсказка
Раздели на калкулатор.
Отговор
Около 1,618 (1,6176...). Да, много близо.
По колко начина можеш да изкачиш 6 стъпала с крачки от 1 или 2?
Подсказка
Начините за 4 и 5 стъпала са 5 и 8.
Отговор
13 начина.
Трудни
Измисли своя редица: започни с 2 и 5 и събирай двете предишни. Напиши 10 числа и пресметни отношението на последните две. Какво забелязваш?
Подсказка
Дели последното число на предпоследното.
Отговор
2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212. 212 : 131 е около 1,618, пак златното сечение.
Начертай на карирана хартия квадрати със страни 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 клетки, един до друг като въртящи се плочки, и свържи ъглите им с дъга. Какво получаваш?
Подсказка
Всеки нов квадрат се долепя до страната на предишните два.
Отговор
Спирала, която прилича на охлюв или ураган (спирала на Фибоначи).
Ловец на Фибоначи
Цел: Да провериш дали природата наоколо наистина брои по Фибоначи
- Събери 5 неща от природата: шишарки, цветя, листа на клонка, ябълка (разрежи я напречно с възрастен).
- Брои: венчелистчета, спирали, семки в звездата на ябълката.
- Запиши в таблица: предмет, брой, число на Фибоначи ли е.
- Пресметни какъв процент от находките ти са числа на Фибоначи.
Накрая: Таблица с находки и процент колко пъти природата е "уцелила" Фибоначи
Тест с точки
10 въпроса, 18 точки, оценка накрая и разбор какво да преговориш.