Вероятност: зарове и монети
Научи се да смяташ шансове със зарове и монети, защо 7 е любимият сбор и как математиката надхитрява комарджиите.
Бип! Робко тук с бърза загадка: хвърляш два зара. Кое ще се падне по-често, сбор 7 или сбор 12? Ако мислиш, че е все едно, имам да ти покажа нещо, което казината знаят много добре.
История от живота
Според известния разказ през 1654 г. френският благородник Шевалие дьо Мере, страстен комарджия, забелязал нещо странно. Той печелел, когато залагал, че в 4 хвърляния на един зар ще се падне поне една шестица. Но губел, когато залагал, че в 24 хвърляния на два зара ще се падне поне една двойна шестица, макар че сметките му казвали, че двата залога са еднакви. Помолил за помощ математика Блез Паскал, който започнал да си пише писма с друг гений, Пиер дьо Ферма. В тези писма двамата поставили основите на теорията на вероятностите. Оказало се, че първият залог печели в около 51,8% от случаите, а вторият само в около 49,1%. Мъничка разлика, но в дълга игра тя решава кой губи парите си!
Разбери го стъпка по стъпка
- Какво е вероятност
Вероятността е число от 0 до 1 (или от 0% до 100%), което казва колко е възможно нещо да се случи. 0 значи „невъзможно“, 1 значи „сигурно“. Когато всички изходи са еднакво възможни, вероятността е: благоприятни изходи делено на всички изходи.
- Монетата и заровете
Монетата има 2 равновъзможни изхода, затова ези е с вероятност 1/2. Зарът има 6 страни, затова всяко число е с вероятност 1/6. При два зара комбинациите са 6 х 6 = 36, защото всяка стойност на първия може да се съчетае с всяка стойност на втория.
- Защо 7 е любимото число на заровете
Сбор 7 се получава по 6 начина: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Сбор 12 само по един: 6+6. Затова 7 е 6 пъти по-вероятно от 12 (6/36 срещу 1/36).
- „Поне един“ се смята наобратно
Вероятността да се падне поне една шестица в 4 хвърляния е трудно да се брои директно. Лесният начин: 1 минус вероятността да НЯМА нито една шестица. Нито една шестица е (5/6) х (5/6) х (5/6) х (5/6), около 0,482, значи поне една е около 0,518.
- Монетата няма памет
Всяко хвърляне е независимо. Ако са се паднали 5 езита подред, следващото хвърляне пак е ези с вероятност 1/2. Монетата не помни и не иска да „изравнява“ резултата.
Представи си така: Вероятността е като прогнозата за времето: „70% дъжд“ не значи, че със сигурност ще вали, нито че ще вали 70% от деня. Значи, че в много такива дни около 7 от 10 ще бъдат дъждовни. За един конкретен ден можеш да сгрешиш, но в дългосрочен план числото работи.
- Класическа вероятност
- P = благоприятни изходи : всички изходи
- Граници
- 0 ≤ P ≤ 1 (невъзможно = 0, сигурно = 1)
- Обратно събитие
- P(не A) = 1 - P(A)
- Независими събития
- P(A и B) = P(A) х P(B)
- Два зара
- 6 х 6 = 36 изхода, сбор 7 е най-вероятен (6/36)
- Очакван брой
- брой опити х вероятност (60 хвърляния х 1/6 = около 10 шестици)
Решени примери
В торба има 3 червени и 2 сини топчета. Каква е вероятността да изтеглиш червено, без да гледаш?
Благоприятни са 3 (червените), а всички са 5. Вероятността е 3/5 = 0,6, тоест 60%.
Хвърляш монета 3 пъти. Каква е вероятността да се падне поне едно ези?
Всички изходи са 2 х 2 х 2 = 8. Само един е без нито едно ези: тура, тура, тура. Значи поне едно ези е 1 - 1/8 = 7/8, тоест 87,5%.
В клас има 23 ученици. Каква е вероятността двама да имат рожден ден на една и съща дата?
Изненадващо, над 50% (около 50,7%, ако пренебрегнем 29 февруари и приемем, че всички дати са еднакво вероятни). Причината е, че двойките ученици са много: 23 х 22 : 2 = 253 двойки, и всяка двойка е шанс за съвпадение.
Внимавай с тези грешки
- След 5 езита подред следва тура, защото „е ред“ на турата.Монетата няма памет. Шансът за ези пак е 1/2. Тази грешка се нарича „заблудата на комарджията“: през 1913 г. в казино в Монте Карло черното се падало 26 пъти подред и хората губели огромни суми, залагайки на червено.
- Щом сборовете на два зара са от 2 до 12, всеки сбор е еднакво вероятен.Сборът 7 се получава по 6 начина, а 2 и 12 само по един. Сборовете в средата са много по-чести.
- Вероятност 1/6 значи, че в 6 хвърляния шестицата ще се падне точно веднъж.Може да не се падне нито веднъж или да се падне три пъти. 1/6 казва какво става средно при много, много хвърляния.
Задачи
Лесни
Хвърли монета 20 пъти и запиши колко пъти е ези. Колко очакваше? Колко получи?
Подсказка
Очакван брой = брой опити х 1/2.
Отговор
Очакваме около 10. Реалният резултат може да е 7, 12 и т.н. и това е нормално.
Каква е вероятността да хвърлиш четно число на зар?
Подсказка
Преброй четните числа от 1 до 6.
Отговор
3/6 = 1/2 (четните са 2, 4 и 6).
Средни
Изпиши всички изходи при хвърляне на две монети. Каква е вероятността да са две езита?
Подсказка
ЕТ и ТЕ са различни изходи!
Отговор
Изходите са ЕЕ, ЕТ, ТЕ, ТТ. Две езита: 1/4.
Направи таблица 6 х 6 със сборовете на два зара. По колко начина се получава всеки сбор от 2 до 12?
Подсказка
Редовете са първият зар, колоните вторият.
Отговор
2:1, 3:2, 4:3, 5:4, 6:5, 7:6, 8:5, 9:4, 10:3, 11:2, 12:1. Общо 36.
Трудни
Каква е вероятността в 2 хвърляния на зар да НЕ се падне нито една шестица? А поне една?
Подсказка
Ползвай обратното събитие.
Отговор
Нито една: (5/6) х (5/6) = 25/36. Поне една: 1 - 25/36 = 11/36.
Провери пресмятането на дьо Мере: вероятността за поне една шестица в 4 хвърляния е 1 - (5/6)^4. Пресметни с калкулатор. Над или под 50% е?
Подсказка
(5/6)^4 = 625/1296.
Отговор
1 - 625/1296 = 671/1296, около 0,518, тоест малко над 50%.
Състезанието на сборовете
Цел: Да провериш с опит дали сбор 7 наистина е най-честият при два зара.
- Начертай таблица със сборовете от 2 до 12.
- Хвърли два зара 100 пъти (може по двойки в класа, за да стигнете и до 500 хвърляния).
- След всяко хвърляне отбележи черта при сбора.
- Направи стълбовидна диаграма с резултатите.
- Сравни с теорията: умножи броя хвърляния по 6/36, 5/36 и т.н. и виж колко близо сте.
Накрая: Диаграма, която прилича на „планинка“ с връх около 7, и сравнение с изчислените стойности.
Тест с точки
10 въпроса, 18 точки, оценка накрая и разбор какво да преговориш.