Неравенства. Системи неравенства
Урокът преговаря линейни, квадратни и дробни неравенства и системи от тях. При линейните внимаваме: при деление на отрицателно число знакът се обръща. Квадратните решаваме чрез корените на квадратния тричлен и знака на старшия коефициент. Дробните и произведенията решаваме с метода на интервалите, а при система взимаме сечението на решенията.
Какво да запомним
- При умножение или деление на отрицателно число знакът на неравенството се обръща.
- ax2 + bx + c при a > 0 е отрицателен между корените и положителен извън тях.
- Ако D 0, тричленът е положителен за всяко x.
- Метод на интервалите: нанасяме нулите и определяме знака във всеки интервал.
- Решението на система е сечението на решенията на неравенствата.
Пример
x2 − 4x + 3 ≤ 0: корените са 1 и 3, a > 0, затова x ∈ [1; 3].
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете неравенството 3x − 6 > 0.
- x < 2
- x > −2
- x > 2
- x > 6
Отговор: x > 2
3x > 6, x > 2.
Решете неравенството x2 < 9.
- x < 3
- x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)
- x ∈ [−3; 3]
- x ∈ (−3; 3)
Отговор: x ∈ (−3; 3)
x2 − 9 < 0 между корените −3 и 3.
Решете неравенството x2 − 4x + 3 ≤ 0.
- x ∈ [1; 3]
- x ∈ (1; 3)
- x ∈ (−∞; 1] ∪ [3; +∞)
- x ∈ [−3; −1]
Отговор: x ∈ [1; 3]
Корените са 1 и 3, а клоните на параболата са нагоре, затова решенията са между корените, включително тях.
Решете системата 2x − 1 > 3 и x2 ≤ 16.
- x ∈ [−4; 4]
- x ∈ (2; 4]
- x ∈ (2; +∞)
- x ∈ [2; 4]
Отговор: x ∈ (2; 4]
Първото дава x > 2, второто −4 ≤ x ≤ 4. Сечението е (2; 4].
Решете неравенството (x − 1)(x + 3)/(x − 5) ≥ 0.
- x ∈ [−3; 1] ∪ [5; +∞)
- x ∈ (−∞; −3] ∪ [1; 5)
- x ∈ [−3; 1] ∪ (5; +∞)
- x ∈ [−3; 5)
Отговор: x ∈ [−3; 1] ∪ (5; +∞)
Метод на интервалите с точки −3, 1 и 5; числото 5 не е допустимо, защото знаменателят става 0.
Решете неравенството −2x ≥ 6.
- x ≥ −3
- x ≤ 3
- x ≥ 3
- x ≤ −3
Отговор: x ≤ −3
Делим на −2 и обръщаме знака: x ≤ −3.
Решете неравенството x2 ≥ 4x.
- x ≥ 4
- x ∈ [0; 4]
- x ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞)
- x ∈ (−∞; 0) ∪ (4; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞)
x(x − 4) ≥ 0, корените са 0 и 4, решенията са извън тях заедно с тях.
Решете неравенството x2 + 2x + 3 > 0.
- x ∈ (−∞; +∞)
- няма решение
- x > −1
- x ∈ (−3; 1)
Отговор: x ∈ (−∞; +∞)
D = 4 − 12 2 е положителен, затова изразът е винаги положителен.
Колко цели числа са решения на неравенството x2 − 2x − 8 < 0?
- 5
- 7
- 6
- 4
Отговор: 5
Корените са −2 и 4, решенията са в (−2; 4): цели −1, 0, 1, 2, 3.
При кои стойности на a неравенството x2 + 2x + a > 0 е изпълнено за всяко x?
- a ≥ 1
- a < 1
- a > 0
- a > 1
Отговор: a > 1
Трябва D = 4 − 4a 1.
Решете неравенството 4x + 1 < 9.
- x > 2
- x < 2,5
- x < 2
- x < 8
Отговор: x < 2
4x < 8, x < 2.
Решете неравенството (x − 2)(x + 5) > 0.
- x ∈ (−5; 2)
- x ∈ (−2; 5)
- x ∈ (2; +∞)
- x ∈ (−∞; −5) ∪ (2; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; −5) ∪ (2; +∞)
Нулите са −5 и 2, произведението е положително извън тях.
Решете системата x + 3 > 0 и 5 − x ≥ 0.
- x ∈ (−3; 5]
- x ∈ [−3; 5)
- x ∈ (−3; 5)
- x ∈ (5; +∞)
Отговор: x ∈ (−3; 5]
x > −3 и x ≤ 5, сечението е (−3; 5].
Решете неравенството (x + 2)/(x − 3) < 0.
- x ∈ [−2; 3)
- x ∈ (−2; 3)
- x ∈ (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
- x ∈ (−3; 2)
Отговор: x ∈ (−2; 3)
Дробта е отрицателна между нулата −2 и полюса 3.
Колко цели числа са решения на системата x2 − 9 ≤ 0 и 2x + 1 > 0?
- 7
- 3
- 4
- 6
Отговор: 4
x ∈ [−3; 3] и x > −1/2, цели решения 0, 1, 2, 3.