Подобни триъгълници
Два триъгълника са подобни, ако ъглите им са съответно равни, а страните им са пропорционални. Отношението на съответните страни е коефициентът на подобие k. Периметрите се отнасят като k, а лицата като k2. Подобието се използва за намиране на недостъпни разстояния и в метричните зависимости в правоъгълния триъгълник.
Какво да запомним
- Признаци: два равни ъгъла; две пропорционални страни и равен ъгъл между тях; три пропорционални страни.
- P1 : P2 = k, S1 : S2 = k2.
- Права, успоредна на страна на триъгълник, отрязва подобен триъгълник.
- В правоъгълен триъгълник: h2 = pq, a2 = c·p.
Пример
Ако лицата на подобни триъгълници се отнасят 4 : 25, страните им се отнасят 2 : 5.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Два триъгълника са подобни с коефициент 3. Периметърът на по-малкия е 10 cm. Колко е периметърът на по-големия?
- 30 cm
- 90 cm
- 13 cm
- 10/3 cm
Отговор: 30 cm
Периметрите се отнасят както коефициента: 3·10 = 30 cm.
Лицата на два подобни триъгълника се отнасят 4 : 25. В какво отношение са съответните им страни?
- 4 : 25
- 2 : 5
- 16 : 625
- 1 : 5
Отговор: 2 : 5
Отношението на лицата е квадрат на коефициента: k2 = 4/25, k = 2/5.
В ΔABC DE ∥ AB, D ∈ AC, E ∈ BC, CD = 4 cm, DA = 6 cm и AB = 15 cm. Намерете DE.
- 10 cm
- 9 cm
- 6 cm
- 4 cm
Отговор: 6 cm
ΔCDE ∼ ΔCAB с коефициент 4/10, DE = 15·0,4 = 6 cm.
Височината към хипотенузата на правоъгълен триъгълник я дели на отсечки 4 cm и 9 cm. Намерете височината.
- 13 cm
- 36 cm
- 6,5 cm
- 6 cm
Отговор: 6 cm
h2 = 4·9 = 36, h = 6 cm.
Трапец има основи 4 cm и 12 cm. Лицето на триъгълника, образуван от малката основа и частите на диагоналите, е 3 cm2. Колко е лицето на триъгълника при голямата основа?
- 27 cm2
- 9 cm2
- 81 cm2
- 36 cm2
Отговор: 27 cm2
Двата триъгълника са подобни с коефициент 3, лицата се отнасят 1 : 9, затова лицето е 27 cm2.
Ъглите на триъгълник са 40°, 60° и 80°. Колко е най-големият ъгъл на подобен на него триъгълник?
- 80°
- 60°
- 40°
- 160°
Отговор: 80°
Подобните триъгълници имат равни съответни ъгли.
Съответни страни на два подобни триъгълника са 3 cm и 6 cm. Лицето на по-малкия е 5 cm2. Колко е лицето на по-големия?
- 10 cm2
- 15 cm2
- 20 cm2
- 40 cm2
Отговор: 20 cm2
k = 2, лицата се отнасят като k2 = 4: 5·4 = 20 cm2.
Кое условие е достатъчно два триъгълника да са подобни?
- имат по една равна страна
- имат равни периметри
- имат равни лица
- два ъгъла на единия са равни на два ъгъла на другия
Отговор: два ъгъла на единия са равни на два ъгъла на другия
Ако два ъгъла са равни, и третите са равни; това е признак за подобие.
Дърво хвърля сянка 12 m, а прът с височина 2 m в същия момент хвърля сянка 3 m. Колко високо е дървото?
- 8 m
- 18 m
- 6 m
- 11 m
Отговор: 8 m
Триъгълниците са подобни: h/12 = 2/3, h = 8 m.
В правоъгълен триъгълник катет е 6 cm, а проекцията му върху хипотенузата е 4 cm. Колко е хипотенузата?
- 10 cm
- 8 cm
- 9 cm
- 12 cm
Отговор: 9 cm
Катетът е средно геометрично на хипотенузата и проекцията си: 36 = 4c, c = 9 cm.
Два триъгълника са подобни с коефициент 2. Колко пъти лицето на по-големия е по-голямо?
- 2
- 8
- 4
- √2
Отговор: 4
Лицата се отнасят като k2 = 4.
Страните на триъгълник са 3 cm, 4 cm и 5 cm. Подобен на него триъгълник има най-малка страна 6 cm. Колко е най-голямата му страна?
- 8 cm
- 15 cm
- 12 cm
- 10 cm
Отговор: 10 cm
k = 6/3 = 2, най-голямата страна е 5·2 = 10 cm.
Периметрите на два подобни триъгълника се отнасят 3 : 4, а лицето на по-малкия е 18 cm2. Колко е лицето на по-големия?
- 32 cm2
- 24 cm2
- 36 cm2
- 27 cm2
Отговор: 32 cm2
k = 4/3, S = 18·16/9 = 32 cm2.
Проекциите на катетите на правоъгълен триъгълник върху хипотенузата са 2 cm и 8 cm. Колко е по-големият катет?
- 4 cm
- 4√5 cm
- 8 cm
- 2√5 cm
Отговор: 4√5 cm
c = 10 cm, a2 = c·p = 10·8 = 80, a = 4√5 cm.
Права, успоредна на AB, дели ΔABC на триъгълник и трапец с равни лица. Колко е отношението на успоредната отсечка към AB?
- 1 : 2
- 1 : 4
- 1 : √2
- √2 : 3
Отговор: 1 : √2
Малкият триъгълник има половината от лицето, k2 = 1/2, k = 1/√2.