ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 9 клас · урок 3 от 7

Основни зависимости между тригонометричните функции

Тригонометричните функции на един и същи ъгъл са свързани с няколко основни зависимости. Най-важната е sin2α + cos2α = 1, която следва от теоремата на Питагор. Тангенсът е частното на синуса и косинуса, а котангенсът е реципрочен на тангенса. С тези формули, ако знаем една функция на остър ъгъл, намираме всички останали.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • sin2α + cos2α = 1.
  • tg α = sin α/cos α; cotg α = cos α/sin α.
  • tg α · cotg α = 1.
  • За остър ъгъл всички функции са положителни, затова при коренуване вземаме положителния корен.

Пример

cos α = 5/13. Тогава sin2α = 1 − 25/169 = 144/169 и sin α = 12/13.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. На колко е равно sin2α + cos2α за всеки остър ъгъл α?
    • 0
    • 2
    • 1
    • 1/2

    Отговор: 1

    По теоремата на Питагор (a/c)2 + (b/c)2 = (a2 + b2)/c2 = 1.

  2. cos α = 5/13 и α е остър ъгъл. Намерете sin α.
    • 8/13
    • 12/5
    • 5/12
    • 12/13

    Отговор: 12/13

    sin α = √(1 − 25/169) = √(144/169) = 12/13.

  3. tg α = 2 и α е остър ъгъл. Намерете cotg α.
    • 1/2
    • 2
    • −1/2
    • √5

    Отговор: 1/2

    cotg α = 1 : tg α = 1/2.

  4. tg α = 3/4 и α е остър ъгъл. Намерете sin α.
    • 4/5
    • 3/4
    • 3/5
    • 3/7

    Отговор: 3/5

    Можем да вземем катети 3 и 4 и хипотенуза 5: sin α = 3/5.

  5. На колко е равно tg α · cotg α за всеки остър ъгъл α?
    • 0
    • tg2 α
    • 1
    • 2

    Отговор: 1

    tg α и cotg α са реципрочни, затова произведението им е 1.

  6. sin α = 0,6 и α е остър ъгъл. Намерете cos α.
    • 0,8
    • 0,4
    • 0,64
    • 1,6

    Отговор: 0,8

    cos α = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8.

  7. Опростете израза sin α · cotg α за остър ъгъл α.
    • cos α
    • sin α
    • tg α
    • 1

    Отговор: cos α

    sin α · cos α/sin α = cos α.

  8. cos α = 1/3 и α е остър ъгъл. Намерете tg α.
    • √2/4
    • 2√2/3
    • 2√2
    • 3

    Отговор: 2√2

    sin α = √(1 − 1/9) = 2√2/3, tg α = (2√2/3) : (1/3) = 2√2.

  9. Опростете израза (1 − sin α)(1 + sin α) : cos α за остър ъгъл α.
    • sin α
    • cos α
    • 1
    • cos2 α

    Отговор: cos α

    (1 − sin α)(1 + sin α) = 1 − sin2 α = cos2 α, а cos2 α : cos α = cos α.

  10. На колко е равно sin α : cos α за остър ъгъл α?
    • tg α
    • cotg α
    • 1
    • sin2α

    Отговор: tg α

    По определение tg α = sin α/cos α.

  11. Опростете израза 1 − cos2α.
    • cos2α
    • 1
    • sin2α
    • tg α

    Отговор: sin2α

    От sin2α + cos2α = 1 следва 1 − cos2α = sin2α.

  12. sin α = 8/17 и α е остър ъгъл. Намерете tg α.
    • 15/8
    • 15/17
    • 8/15
    • 8/17

    Отговор: 8/15

    cos α = √(1 − 64/289) = 15/17, tg α = (8/17) : (15/17) = 8/15.

  13. Опростете израза (sin α + cos α)2 − 2sin α cos α.
    • 1
    • 0
    • 2sin α cos α
    • sin2α

    Отговор: 1

    Разкриваме скобите: sin2α + 2sin α cos α + cos2α − 2sin α cos α = 1.

  14. Опростете израза 1 + tg2α.
    • 1/sin2α
    • cotg2α
    • 1
    • 1/cos2α

    Отговор: 1/cos2α

    1 + sin2α/cos2α = (cos2α + sin2α)/cos2α = 1/cos2α.

  15. За остър ъгъл α е дадено sin α · cos α = 0,4. Намерете tg α + cotg α.
    • 0,4
    • 2,5
    • 1
    • 5

    Отговор: 2,5

    tg α + cotg α = (sin2α + cos2α)/(sin α cos α) = 1/0,4 = 2,5.