Практически задачи
Тригонометрията се използва за измерване на разстояния и височини, които не можем да измерим директно: височина на сграда, стълб или дърво, наклон на рампа, височина на самолет. Моделираме ситуацията с правоъгълен триъгълник и използваме ъгъла, под който се вижда обектът. Ъгълът между хоризонта и посоката на гледане нагоре се нарича ъгъл на издигане.
Какво да запомним
- Височина = разстояние до обекта · tg (ъгъл на издигане).
- Изкачена височина по наклон = дължина · sin (наклона).
- Хоризонтално разстояние = дължина · cos (наклона).
- Скицираме и отбелязваме правия ъгъл.
Пример
Самолет излита под 30° и изминава 2 km. Височината е 2 · sin 30° = 1 km = 1000 m.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Сянката на стълб е 8 m, когато слънчевите лъчи сключват със земята ъгъл 45°. Колко е височината на стълба?
- 8 m
- 8√2 m
- 4 m
- 16 m
Отговор: 8 m
h = 8 · tg 45° = 8 m.
Самолет излита под ъгъл 30° спрямо хоризонта и изминава по права 2 km. На каква височина се намира?
- 1000√3 m
- 2000 m
- 500 m
- 1000 m
Отговор: 1000 m
h = 2000 · sin 30° = 1000 m.
Стълба с дължина 4 m е опряна на стена и сключва със земята ъгъл 60°. На какво разстояние от стената е долният ѝ край?
- 2√3 m
- 4 m
- 2 m
- 1 m
Отговор: 2 m
Разстоянието е 4 · cos 60° = 2 m.
Рампа с дължина 6 m има наклон 30°. На каква височина се изкачва човек по нея?
- 3 m
- 3√3 m
- 6 m
- 2 m
Отговор: 3 m
h = 6 · sin 30° = 3 m.
От точка A върхът на сграда се вижда под ъгъл 45°, а от точка B, с 20 m по-близо до сградата, под ъгъл 60°. Колко е височината h на сградата?
- 20√3 m
- 10(√3 + 1) m
- 30 m
- 10(3 + √3) m
Отговор: 10(3 + √3) m
h : tg 45° − h : tg 60° = 20, т.е. h(1 − √3/3) = 20, h = 60/(3 − √3) = 10(3 + √3) m.
Как се нарича ъгълът между хоризонта и посоката на гледане нагоре към обект?
- прав ъгъл
- ъгъл на спускане
- развит ъгъл
- ъгъл на издигане
Отговор: ъгъл на издигане
Ъгълът, отчетен от хоризонта нагоре, е ъгъл на издигане.
Път се изкачва под наклон 30°. Колко метра по пътя трябва да изминем, за да се изкачим на 50 m височина?
- 100 m
- 50 m
- 25 m
- 50√3 m
Отговор: 100 m
Височина = дължина · sin 30°, затова дължината е 50 : 1/2 = 100 m.
Хвърчило е на връв 20 m, опъната под ъгъл 60° към земята. Колко е хоризонталното разстояние до точката под хвърчилото?
- 10√3 m
- 20 m
- 10 m
- 5 m
Отговор: 10 m
Хоризонталното разстояние е 20 · cos 60° = 10 m.
От върха на кула, висока 30 m, лодка се вижда под ъгъл 45° под хоризонта. На какво разстояние от кулата е лодката?
- 30√2 m
- 15 m
- 30 m
- 60 m
Отговор: 30 m
При 45° хоризонталното разстояние е равно на височината, 30 m.
Рампа се издига на 1 m при хоризонтално разстояние 4 m. На колко е равен тангенсът на наклона ѝ?
- 0,25
- 4
- 0,2
- 0,75
Отговор: 0,25
tg на наклона = височина : хоризонтално разстояние = 1 : 4 = 0,25.
Стълб е висок 6 m, а слънчевите лъчи сключват със земята ъгъл 30°. Колко е дълга сянката му?
- 2√3 m
- 12 m
- 3 m
- 6√3 m
Отговор: 6√3 m
Сянка = височина : tg 30° = 6 : (√3/3) = 6√3 m.
Наблюдател на 20 m от сграда вижда върха ѝ под ъгъл 45°. Очите му са на 1,6 m над земята. Колко е висока сградата?
- 20 m
- 21,6 m
- 18,4 m
- 23,2 m
Отговор: 21,6 m
Над очите сградата е 20 · tg 45° = 20 m, добавяме 1,6 m: 21,6 m.
Самолет лети на височина 3 km и пилотът вижда летището под ъгъл 30° под хоризонта. Колко е хоризонталното разстояние до летището?
- 6 km
- 3√3 km
- √3 km
- 1,5 km
Отговор: 3√3 km
Разстоянието е 3 : tg 30° = 3 : (√3/3) = 3√3 km.
От прозорец на 12 m височина върхът на отсрещна сграда се вижда под 45° нагоре, а основата ѝ под 45° надолу. Колко е висока сградата?
- 12 m
- 36 m
- 12√2 m
- 24 m
Отговор: 24 m
От ъгъла надолу разстоянието е 12 m. Над прозореца сградата е 12 · tg 45° = 12 m. Общо 24 m.
Слънцето е на 30° над хоризонта. На колко градуса трябва да се издигне, за да стане сянката на стълб 3 пъти по-къса?
- 60°
- 90°
- 45°
- 75°
Отговор: 60°
Сянката е h : tg α. За 3 пъти по-къса сянка tg α = 3tg 30° = √3, т.е. α = 60°.