Тригонометрични функции на остър ъгъл

Функции на остър ъгъл

1. В ΔABC ∠C = 90°, AC = 5 cm, BC = 12 cm и AB = 13 cm. Намерете cos A.

   • 5/13
   • 12/13
   • 5/12
   • 12/5

   Отговор: 5/13

   cos A е прилежащият катет към хипотенузата: AC/AB = 5/13.

2. Синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на:

   • прилежащия катет към хипотенузата
   • срещулежащия катет към хипотенузата
   • срещулежащия към прилежащия катет
   • хипотенузата към срещулежащия катет

   Отговор: срещулежащия катет към хипотенузата

   По определение sin α е срещулежащият катет, разделен на хипотенузата.

3. В ΔABC ∠C = 90°, AC = 3 cm, BC = 4 cm и AB = 5 cm. Намерете cotg A.

   • 4/3
   • 3/4
   • 3/5
   • 4/5

   Отговор: 3/4

   cotg A е прилежащият катет към срещулежащия: AC : BC = 3/4.

4. В ΔABC ∠C = 90°, AC = 8 cm и AB = 17 cm. Намерете tg A.

   • 8/15
   • 15/8
   • 15/17
   • 8/17

   Отговор: 15/8

   BC = √(289 − 64) = 15 cm, tg A = BC/AC = 15/8.

5. В ΔABC ∠C = 90°, AC = 9 cm и BC = 12 cm. Намерете sin B.

   • 4/5
   • 3/4
   • 4/3
   • 3/5

   Отговор: 3/5

   AB = √(81 + 144) = 15 cm, sin B = AC/AB = 9/15 = 3/5.

6. В ΔABC ∠C = 90° и sin A = 0,4. Колко е cos B?

   • 0,6
   • 0,8
   • 0,4
   • 0,2

   Отговор: 0,4

   sin A = BC : AB и cos B = BC : AB, затова cos B = sin A = 0,4.

7. В ΔABC ∠C = 90°, BC = 6 cm и sin A = 3/5. Колко е AB?

   • 3,6 cm
   • 8 cm
   • 10 cm
   • 12 cm

   Отговор: 10 cm

   sin A = BC/AB: 6/AB = 3/5, AB = 10 cm.

8. В ΔABC ∠C = 90°, AB = 26 cm и cos A = 5/13. Колко е BC?

   • 24 cm
   • 10 cm
   • 12 cm
   • 20 cm

   Отговор: 24 cm

   AC = AB · cos A = 10 cm, BC = √(676 − 100) = 24 cm.

9. Как се изменя cos α, когато острият ъгъл α нараства?

   • нараства
   • не се променя
   • първо нараства, после намалява
   • намалява

   Отговор: намалява

   При нарастване на острия ъгъл прилежащият катет намалява спрямо хипотенузата, затова cos α намалява.

10. В ΔABC ∠C = 90°, AC = 12 cm и tg B = 3/4. Колко е AB?

    • 16 cm
    • 15 cm
    • 25 cm
    • 20 cm

    Отговор: 20 cm

    tg B = AC/BC, BC = 16 cm, AB = √(144 + 256) = 20 cm.

11. В ΔABC ∠C = 90°, tg A = 2 и AC = 5 cm. Колко е лицето на триъгълника?

    • 50 cm²
    • 12,5 cm²
    • 25 cm²
    • 10 cm²

    Отговор: 25 cm²

    BC = AC · tg A = 10 cm, лицето е 5 · 10 : 2 = 25 cm².

12. В ΔABC ∠C = 90°, AB = 10 cm и sin A = 0,6. Колко е лицето на триъгълника?

    • 24 cm²
    • 48 cm²
    • 30 cm²
    • 12 cm²

    Отговор: 24 cm²

    BC = 10 · 0,6 = 6 cm, AC = √(100 − 36) = 8 cm, S = 6 · 8 : 2 = 24 cm².

13. Кое число НЕ може да бъде синус на остър ъгъл?

    • √5/2
    • √3/3
    • 0,99
    • 2/5

    Отговор: √5/2

    За остър ъгъл 0 1.

14. Кое неравенство е вярно за всеки остър ъгъл α?

    • sin α > tg α
    • cos α > 1
    • sin α < tg α
    • tg α < 1

    Отговор: sin α < tg α

    tg α = sin α/cos α, а 0 sin α.

15. В ΔABC ∠C = 90°, CH е височина, AC = 10 cm и cos A = 0,8. Колко е CH?

    • 8 cm
    • 6 cm
    • 4,8 cm
    • 7,5 cm

    Отговор: 6 cm

    sin A = √(1 − 0,64) = 0,6. От ΔACH: CH = AC · sin A = 10 · 0,6 = 6 cm.

Ъгли 30°, 45° и 60°

1. На колко е равно cos 60°?

   • √3/2
   • 1/2
   • √2/2
   • √3

   Отговор: 1/2

   В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° катетът срещу него е половината от хипотенузата, затова cos 60° = 1/2.

2. На колко е равно sin 60°?

   • √3/2
   • 1/2
   • √2/2
   • √3

   Отговор: √3/2

   sin 60° = √3/2.

3. На колко е равно cos 45°?

   • 1/2
   • √2/2
   • √3/2
   • 1

   Отговор: √2/2

   cos 45° = √2/2 (катетите в равнобедрен правоъгълен триъгълник са хипотенузата, делена на √2).

4. На колко е равно tg 30°?

   • √3
   • 1/2
   • √3/3
   • 1

   Отговор: √3/3

   tg 30° = sin 30°/cos 30° = (1/2) : (√3/2) = 1/√3 = √3/3.

5. На колко е равно tg 60°?

   • √3/3
   • 1
   • √3/2
   • √3

   Отговор: √3

   tg 60° = sin 60° : cos 60° = (√3/2) : (1/2) = √3.

6. На колко е равно tg 45°?

   • 0
   • √3
   • 1
   • √3/3

   Отговор: 1

   В равнобедрен правоъгълен триъгълник катетите са равни, затова tg 45° = 1.

7. Пресметнете 2sin 45° · cos 45°.

   • √2
   • 1/2
   • 2
   • 1

   Отговор: 1

   2 · √2/2 · √2/2 = 2 · 2/4 = 1.

8. Пресметнете cos² 30° − sin² 30°.

   • 1
   • 1/2
   • 0
   • √3/2

   Отговор: 1/2

   cos² 30° = 3/4, sin² 30° = 1/4, разликата е 1/2.

9. Пресметнете sin²60° + cos²30°.

   • 1
   • 3/4
   • √3
   • 3/2

   Отговор: 3/2

   sin 60° = cos 30° = √3/2, затова 3/4 + 3/4 = 3/2.

10. Пресметнете sin 60° · tg 30° + cos²45°.

    • 1
    • 3/2
    • √3
    • 1/2

    Отговор: 1

    √3/2 · √3/3 + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1.

11. Пресметнете (tg 45° + tg 60°)(1 − tg 60°).

    • 2
    • 1 − √3
    • −4
    • −2

    Отговор: −2

    (1 + √3)(1 − √3) = 1 − 3 = −2.

12. Кое от числата е най-голямо?

    • cos 30°
    • sin 30°
    • tg 30°
    • cotg 60°

    Отговор: cos 30°

    cos 30° = √3/2 ≈ 0,87; sin 30° = 0,5; tg 30° = cotg 60° = √3/3 ≈ 0,58.

13. Острият ъгъл α е такъв, че 2cos α = √3. Намерете α.

    • 60°
    • 30°
    • 45°
    • 15°

    Отговор: 30°

    cos α = √3/2, α = 30°.

14. Остър ъгъл α е такъв, че tg α = 3 cotg α. Намерете α.

    • 30°
    • 60°
    • 45°
    • 75°

    Отговор: 60°

    tg α = 3/tg α, tg² α = 3, tg α = √3, α = 60°.

15. Пресметнете (sin 60° + cos 30°)² : tg 60°.

    • 3
    • √3
    • 1
    • 2√3

    Отговор: √3

    sin 60° + cos 30° = √3, (√3)² = 3, а 3 : √3 = √3.

Основни зависимости

1. На колко е равно sin²α + cos²α за всеки остър ъгъл α?

   • 0
   • 2
   • 1
   • 1/2

   Отговор: 1

   По теоремата на Питагор (a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c² = 1.

2. На колко е равно tg α · cotg α за всеки остър ъгъл α?

   • 0
   • tg² α
   • 1
   • 2

   Отговор: 1

   tg α и cotg α са реципрочни, затова произведението им е 1.

3. На какво е равен tg α за остър ъгъл α?

   • sin α : cos α
   • cos α : sin α
   • sin α · cos α
   • sin α + cos α

   Отговор: sin α : cos α

   tg α = sin α : cos α, а cotg α = cos α : sin α.

4. cos α = 5/13 и α е остър ъгъл. Намерете sin α.

   • 8/13
   • 12/5
   • 5/12
   • 12/13

   Отговор: 12/13

   sin α = √(1 − 25/169) = √(144/169) = 12/13.

5. sin α = 0,6 и α е остър ъгъл. Намерете cos α.

   • 0,8
   • 0,4
   • 0,64
   • 1,6

   Отговор: 0,8

   cos α = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8.

6. cos 50° е равно на:

   • sin 50°
   • sin 40°
   • tg 40°
   • cos 40°

   Отговор: sin 40°

   cos α = sin(90° − α), затова cos 50° = sin 40°.

7. tg α = 2 и α е остър ъгъл. Намерете cotg α.

   • 1/2
   • 2
   • −1/2
   • √5

   Отговор: 1/2

   cotg α = 1 : tg α = 1/2.

8. Опростете израза sin α · cotg α за остър ъгъл α.

   • cos α
   • sin α
   • tg α
   • 1

   Отговор: cos α

   sin α · cos α/sin α = cos α.

9. Пресметнете tg 35° · tg 55°.

   • 0
   • 1/2
   • 1
   • √3

   Отговор: 1

   tg 55° = cotg 35°, а tg 35° · cotg 35° = 1.

10. Пресметнете sin 20° : cos 70°.

    • tg 20°
    • 1
    • 0
    • sin 50°

    Отговор: 1

    cos 70° = cos(90° − 20°) = sin 20°, затова частното е 1.

11. cos α = 1/3 и α е остър ъгъл. Намерете tg α.

    • √2/4
    • 2√2/3
    • 2√2
    • 3

    Отговор: 2√2

    sin α = √(1 − 1/9) = 2√2/3, tg α = (2√2/3) : (1/3) = 2√2.

12. Опростете израза (sin α + cos α)² − 2sin α · cos α.

    • 0
    • 2
    • sin α
    • 1

    Отговор: 1

    След разкриване остава sin²α + cos²α = 1.

13. tg α = 3/4 и α е остър ъгъл. Намерете sin α.

    • 4/5
    • 3/4
    • 3/5
    • 3/7

    Отговор: 3/5

    Можем да вземем катети 3 и 4 и хипотенуза 5: sin α = 3/5.

14. Опростете израза (1 − sin α)(1 + sin α) : cos α за остър ъгъл α.

    • sin α
    • cos α
    • 1
    • cos² α

    Отговор: cos α

    (1 − sin α)(1 + sin α) = 1 − sin² α = cos² α, а cos² α : cos α = cos α.

15. За острия ъгъл α sin α · cos α = 0,4. Колко е tg α + cotg α?

    • 2,5
    • 0,4
    • 1
    • 2

    Отговор: 2,5

    tg α + cotg α = (sin²α + cos²α) : (sin α · cos α) = 1 : 0,4 = 2,5.

Решаване на триъгълник

1. В ΔABC ∠C = 90°, AB = 20 cm и ∠A = 30°. Колко е BC?

   • 10√3 cm
   • 20√3 cm
   • 40 cm
   • 10 cm

   Отговор: 10 cm

   BC = AB · sin 30° = 20 · 1/2 = 10 cm.

2. В ΔABC ∠C = 90°, AB = 8 cm и ∠A = 60°. Колко е AC?

   • 4√3 cm
   • 8√3 cm
   • 16 cm
   • 4 cm

   Отговор: 4 cm

   AC = AB · cos 60° = 8 · 1/2 = 4 cm.

3. В ΔABC ∠C = 90° и ∠A = 35°. Колко е ∠B?

   • 35°
   • 55°
   • 45°
   • 65°

   Отговор: 55°

   Острите ъгли на правоъгълен триъгълник имат сбор 90°: 90° − 35° = 55°.

4. В ΔABC ∠C = 90°, AC = 7 cm и ∠A = 45°. Колко е BC?

   • 7 cm
   • 7√2 cm
   • 14 cm
   • 7√3 cm

   Отговор: 7 cm

   Триъгълникът е равнобедрен правоъгълен: BC = AC · tg 45° = 7 cm.

5. В ΔABC ∠C = 90°, BC = 5 cm и ∠A = 30°. Колко е AB?

   • 5√3 cm
   • 10 cm
   • 2,5 cm
   • 5√2 cm

   Отговор: 10 cm

   Катетът срещу ъгъл 30° е половината от хипотенузата, затова AB = 10 cm.

6. Височината на равностранен триъгълник е 6 cm. Колко е страната му?

   • 12 cm
   • 6√3 cm
   • 4√3 cm
   • 3√3 cm

   Отговор: 4√3 cm

   a = h : sin 60° = 6 : (√3/2) = 12/√3 = 4√3 cm.

7. В ΔABC ∠C = 90°, BC = 9 cm и ∠A = 60°. Колко е AC?

   • 9√3 cm
   • 3√3 cm
   • 6√3 cm
   • 3 cm

   Отговор: 3√3 cm

   AC = BC : tg 60° = 9/√3 = 3√3 cm.

8. В ΔABC ∠C = 90°, AC = 4 cm и ∠B = 30°. Колко е BC?

   • 4√3/3 cm
   • 8 cm
   • 2 cm
   • 4√3 cm

   Отговор: 4√3 cm

   tg B = AC/BC, BC = 4 : tg 30° = 4 : (√3/3) = 4√3 cm.

9. Хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник е 10 cm. Колко е лицето му?

   • 50 cm²
   • 12,5 cm²
   • 100 cm²
   • 25 cm²

   Отговор: 25 cm²

   Катетът е 10 · cos 45° = 5√2 cm, S = (5√2)² : 2 = 25 cm².

10. В равнобедрения ΔABC AC = BC = 12 cm и ∠ACB = 120°. Колко е основата AB?

    • 12 cm
    • 6√3 cm
    • 12√3 cm
    • 24 cm

    Отговор: 12√3 cm

    Ъглите при основата са 30°. Височината разполовява AB: AB/2 = 12 · cos 30° = 6√3 cm, AB = 12√3 cm.

11. Диагоналът на правоъгълник е 12 cm и сключва с една от страните ъгъл 30°. Колко е лицето на правоъгълника?

    • 36√3 cm²
    • 72 cm²
    • 18√3 cm²
    • 36 cm²

    Отговор: 36√3 cm²

    Страните са 12 · sin 30° = 6 cm и 12 · cos 30° = 6√3 cm, лицето е 36√3 cm².

12. Успоредник има страни 6 cm и 10 cm и остър ъгъл 30°. Колко е лицето му?

    • 30 cm²
    • 60 cm²
    • 15 cm²
    • 30√3 cm²

    Отговор: 30 cm²

    Височината към страната 10 cm е 6 · sin 30° = 3 cm, S = 10 · 3 = 30 cm².

13. Основата на равнобедрен триъгълник е 16 cm, а ъгълът α при основата е такъв, че cos α = 4/5. Колко е лицето на триъгълника?

    • 96 cm²
    • 60 cm²
    • 80 cm²
    • 48 cm²

    Отговор: 48 cm²

    Бедрото е 8 : 4/5 = 10 cm, височината е 6 cm, S = 16 · 6 : 2 = 48 cm².

14. В ΔABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, а височината CH = 6 cm (H е от AB). Колко е AB?

    • (6 + 6√3) cm
    • 12 cm
    • (6 + 2√3) cm
    • 6√3 cm

    Отговор: (6 + 2√3) cm

    AH = CH : tg 45° = 6 cm, HB = CH : tg 60° = 6/√3 = 2√3 cm, AB = 6 + 2√3 cm.

15. В ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, CH е височина и AB = 16 cm. Колко е AH?

    • 4 cm
    • 12 cm
    • 8 cm
    • 8√3 cm

    Отговор: 12 cm

    AC = AB · cos 30° = 8√3 cm, AH = AC · cos 30° = 8√3 · √3/2 = 12 cm.

Трапец и приложения

1. Сянката на стълб е 8 m, когато слънчевите лъчи сключват със земята ъгъл 45°. Колко е височината на стълба?

   • 8 m
   • 8√2 m
   • 4 m
   • 16 m

   Отговор: 8 m

   h = 8 · tg 45° = 8 m.

2. Стълба с дължина 4 m е опряна на стена и сключва със земята ъгъл 60°. На какво разстояние от стената е долният ѝ край?

   • 2√3 m
   • 4 m
   • 2 m
   • 1 m

   Отговор: 2 m

   Разстоянието е 4 · cos 60° = 2 m.

3. Конецът на хвърчило е 20 m и сключва със земята ъгъл 30°. На каква височина е хвърчилото?

   • 20 m
   • 10√3 m
   • 5 m
   • 10 m

   Отговор: 10 m

   h = 20 · sin 30° = 20 · 1/2 = 10 m.

4. Равнобедрен трапец има основи 14 cm и 6 cm, а ъгълът при голямата основа е 45°. Колко е височината му?

   • 4√2 cm
   • 4 cm
   • 8 cm
   • 6 cm

   Отговор: 4 cm

   Проекцията на бедрото е (14 − 6) : 2 = 4 cm, а при 45° височината е равна на нея.

5. Рампа с дължина 6 m има наклон 30°. На каква височина се изкачва човек по нея?

   • 3 m
   • 3√3 m
   • 6 m
   • 2 m

   Отговор: 3 m

   h = 6 · sin 30° = 3 m.

6. Ромб има страна 8 cm и ъгъл 60°. Колко е по-малкият му диагонал?

   • 8 cm
   • 4 cm
   • 8√3 cm
   • 16 cm

   Отговор: 8 cm

   По-малкият диагонал образува със страните равностранен триъгълник, затова е 8 cm.

7. Правоъгълният трапец ABCD (∠A = 90°) има основи AB = 12 cm и CD = 7 cm и ∠B = 60°. Колко е височината му?

   • 5 cm
   • 10 cm
   • 5√3 cm
   • 5√3/3 cm

   Отговор: 5√3 cm

   Проекцията на BC върху AB е 12 − 7 = 5 cm, h = 5 · tg 60° = 5√3 cm.

8. Бедрото на равнобедрен трапец е 6 cm и сключва с голямата основа ъгъл 60°. Колко е височината на трапеца?

   • 3 cm
   • 6√3 cm
   • 2√3 cm
   • 3√3 cm

   Отговор: 3√3 cm

   h = 6 · sin 60° = 3√3 cm.

9. От върха на кула, висока 20 m, лодка се вижда под ъгъл 30° под хоризонталата. На какво разстояние от основата на кулата е лодката?

   • 40 m
   • 20√3 m
   • 20 m
   • 10√3 m

   Отговор: 20√3 m

   Ъгълът при лодката е 30°, затова d = 20 : tg 30° = 20 : (√3/3) = 20√3 m.

10. Самолет излита под ъгъл 30° спрямо хоризонта и изминава по права 2 km. На каква височина се намира?

    • 1000√3 m
    • 2000 m
    • 500 m
    • 1000 m

    Отговор: 1000 m

    h = 2000 · sin 30° = 1000 m.

11. Правоъгълен трапец има височина 4 cm, остър ъгъл 45° и малка основа 5 cm. Колко е лицето му?

    • 36 cm²
    • 28 cm²
    • 20 cm²
    • 24 cm²

    Отговор: 28 cm²

    При ъгъл 45° проекцията на наклоненото бедро е равна на височината, 4 cm. Голямата основа е 9 cm, лицето е (9 + 5) : 2 · 4 = 28 cm².

12. Равнобедрен трапец има основи 10 cm и 4 cm, а ъгълът при голямата основа е 60°. Колко е лицето му?

    • 42√3 cm²
    • 21 cm²
    • 21√3 cm²
    • 14√3 cm²

    Отговор: 21√3 cm²

    Проекцията на бедрото е 3 cm, h = 3 · tg 60° = 3√3 cm, S = (10 + 4) : 2 · 3√3 = 21√3 cm².

13. Бедрото на равнобедрен трапец е 8 cm и сключва с голямата основа ъгъл 60°. Голямата основа е 20 cm. Колко е малката основа?

    • 12 cm
    • 16 cm
    • 4 cm
    • 14 cm

    Отговор: 12 cm

    Проекцията на бедрото е 8 · cos 60° = 4 cm, малката основа е 20 − 2 · 4 = 12 cm.

14. От точка A върхът на сграда се вижда под ъгъл 45°, а от точка B, с 20 m по-близо до сградата, под ъгъл 60°. Колко е височината h на сградата?

    • 20√3 m
    • 10(√3 + 1) m
    • 30 m
    • 10(3 + √3) m

    Отговор: 10(3 + √3) m

    h : tg 45° − h : tg 60° = 20, т.е. h(1 − √3/3) = 20, h = 60/(3 − √3) = 10(3 + √3) m.

15. В успоредника ABCD AB = 12 cm, AD = 8 cm и ∠A = 60°. Колко е по-късият диагонал BD?

    • 4√7 cm
    • 4√13 cm
    • 8√3 cm
    • 10 cm

    Отговор: 4√7 cm

    Височината от D е DH = 8 · sin 60° = 4√3 cm, AH = 8 · cos 60° = 4 cm, HB = 8 cm. BD = √(64 + 48) = √112 = 4√7 cm.

Финален въпрос