Геометрична вероятност: дължини и лица
Когато точка се избира случайно в отсечка или фигура, вероятността точката да попадне в дадена част е отношението на дължините (на правата) или на лицата (в равнината). Вероятността точката да е точно в определена точка е 0. При задачи с неравенства първо се намира множеството от благоприятни стойности, а после неговата дължина или лице.
Какво да запомним
- На правата: P = (дължина на благоприятната част)/(дължина на целия интервал).
- В равнината: P = (лице на благоприятната част)/(лице на цялата фигура).
- Лицата на подобни фигури се отнасят като квадратите на линейните размери.
- P(x = a) = 0 за конкретно число a.
Пример
Ако a е случайно в [0; 5], уравнението x2 − 4x + a = 0 няма реални корени при 16 − 4a < 0, т.е. a > 4; вероятността е 1/5.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Точка се избира случайно в отсечката [0; 16]. Каква е вероятността тя да е в [4; 10]?
- 3/8
- 5/8
- 1/4
- 3/4
Отговор: 3/8
Дължина 6 от 16: 6/16 = 3/8.
Число x се избира случайно в [0; 6]. Каква е вероятността x2 < 9?
- 1/4
- 3/4
- 1/2
- 1/3
Отговор: 1/2
В [0; 6] неравенството е изпълнено за 0 ≤ x < 3: 3/6 = 1/2.
Точка се избира случайно в квадрат със страна 6. Каква е вероятността тя да е на разстояние поне 1 от всяка страна?
- 5/9
- 2/3
- 1/9
- 4/9
Отговор: 4/9
Благоприятна е вътрешният квадрат със страна 4: 16/36 = 4/9.
Число a се избира случайно в [0; 5]. Каква е вероятността уравнението x2 − 4x + a = 0 да няма реални корени?
- 4/5
- 1/5
- 1/4
- 0
Отговор: 1/5
D = 16 − 4a < 0 при a > 4: дължина 1 от 5.
Числата x и y се избират случайно в [0; 2]. Каква е вероятността x + y > 3?
- 1/4
- 3/8
- 1/2
- 1/8
Отговор: 1/8
Благоприятен е триъгълник с катети 1 и лице 1/2; лицето на квадрата е 4; 1/2 : 4 = 1/8.
Колело на късмета има сектор от 45°. Каква е вероятността стрелката да спре в него?
- 1/4
- 45/100
- 1/8
- 1/45
Отговор: 1/8
45° : 360° = 1/8.
Точка се избира случайно в кръг с радиус 5. Каква е вероятността разстоянието ѝ до центъра да е между 3 и 4?
- 1/5
- 1/25
- 9/25
- 7/25
Отговор: 7/25
Лицето на пръстена е π(16 − 9) = 7π, а на кръга 25π: 7/25.
Влак на метрото идва на всеки 4 минути. Каква е вероятността пътник, дошъл в случаен момент, да чака повече от 3 минути?
- 3/4
- 1/3
- 1/4
- 1/2
Отговор: 1/4
Чака повече от 3 минути, ако дойде в първата минута след тръгването на влака: 1/4.
Точка се избира случайно в правоъгълник ABCD. Каква е вероятността тя да е в триъгълника ABM, където M е средата на CD?
- 1/4
- 1/3
- 2/3
- 1/2
Отговор: 1/2
Триъгълникът има основа AB и височина, равна на височината на правоъгълника: лицето му е половината.
Пръчка с дължина 1 m се чупи в случайна точка. Каква е вероятността по-дългото парче да е поне 3 пъти по-дълго от по-късото?
- 1/2
- 1/4
- 3/4
- 1/3
Отговор: 1/2
По-късото парче трябва да е най-много 25 cm: точката е в [0; 0,25] или в [0,75; 1], общо 0,5.