Условна вероятност: задачи с карти, деца и тестове
Условната вероятност P(A | B) е вероятността A да настъпи, ако е известно, че е настъпило B: P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) при P(B) > 0. На практика "условието" стеснява множеството от възможни изходи. Оттук следва теоремата за умножение P(A ∩ B) = P(B)·P(A | B), а когато изходът зависи от няколко възможни "хипотези" (урни, цехове, болен или здрав човек), се използва формулата за пълна вероятност.
Какво да запомним
- P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B).
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A) = P(B)·P(A | B).
- Пълна вероятност: P(A) = P(H1)P(A | H1) + P(H2)P(A | H2).
- P(A | B) и P(B | A) по принцип са различни.
Пример
Болест засяга 1% от хората, тестът открива болния с вероятност 0,9 и дава грешен положителен резултат при 10% от здравите. При положителен тест вероятността човекът да е болен е само 0,009/(0,009 + 0,099) = 1/12.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
P(B) = 0,4 и P(A ∩ B) = 0,1. Намерете P(A | B).
- 0,04
- 0,4
- 0,25
- 0,1
Отговор: 0,25
P(A | B) = 0,1 : 0,4 = 0,25.
Семейство има две деца и се знае, че по-голямото е момиче. Каква е вероятността и двете деца да са момичета?
- 1/3
- 1/4
- 1/2
- 2/3
Отговор: 1/2
Остава да се определи само по-малкото дете: момиче с вероятност 1/2.
От тесте с 52 карти е изтеглена фигура (вале, дама или поп). Каква е вероятността тя да е дама?
- 1/4
- 1/13
- 1/3
- 3/13
Отговор: 1/3
Фигурите са 12, от тях 4 са дами: 4/12 = 1/3.
От 10 изделия 3 са дефектни. Взимат се 2 без връщане и първото е дефектно. Каква е вероятността и второто да е дефектно?
- 3/10
- 1/15
- 1/3
- 2/9
Отговор: 2/9
Остават 9 изделия, от които 2 са дефектни.
Болест засяга 1% от хората. Тест открива болния с вероятност 0,9, а при здрав дава положителен резултат с вероятност 0,1. Тестът е положителен. Каква е вероятността човекът да е болен?
- 0,9
- 1/12
- 0,1
- 1/11
Отговор: 1/12
P(+) = 0,01 · 0,9 + 0,99 · 0,1 = 0,108; P(болен | +) = 0,009 : 0,108 = 1/12.
Хвърля се зар и се знае, че се е паднало просто число. Каква е вероятността то да е 2?
- 1/6
- 1/2
- 1/4
- 1/3
Отговор: 1/3
Простите числа от 1 до 6 са 2, 3 и 5.
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 и P(B | A) = 0,6. Намерете P(A | B).
- 0,6
- 0,75
- 0,3
- 0,24
Отговор: 0,75
P(A ∩ B) = 0,5 · 0,6 = 0,3; P(A | B) = 0,3 : 0,4 = 0,75.
60% от учениците обичат математика, а 40% обичат и математика, и физика. Каква е вероятността случайно избран любител на математиката да обича и физика?
- 0,4
- 2/3
- 0,24
- 0,6
Отговор: 2/3
P(Ф | М) = P(М ∩ Ф)/P(М) = 0,4 : 0,6 = 2/3.
Хвърлят се два зара и сборът е 7. Каква е вероятността на единия зар да е паднало 1?
- 1/6
- 1/2
- 1/3
- 2/7
Отговор: 1/3
Сбор 7 дават 6 двойки, от които (1; 6) и (6; 1) съдържат единица.
Урна I има 2 бели и 3 черни топки, урна II има 4 бели и 1 черна. Хвърля се зар: при 1 или 2 се тегли от урна I, иначе от урна II. Каква е вероятността да се изтегли бяла топка?
- 3/5
- 2/3
- 1/2
- 8/15
Отговор: 2/3
P = 1/3 · 2/5 + 2/3 · 4/5 = 2/15 + 8/15 = 2/3.