Действия с вероятности: обединение, сечение, допълнение
Вероятността на обединение се намира по формулата P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); за несъвместими събития сечението е празно. Вероятността на противоположното събитие е P(Ā) = 1 − P(A). При класическа вероятност се броят благоприятните и всички равновъзможни изходи, като при броене на числа, кратни на a или на b, се изваждат кратните и на двете (на най-малкото общо кратно).
Какво да запомним
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- P(Ā) = 1 − P(A); 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- P(точно едно от A и B) = P(A ∪ B) − P(A ∩ B).
- P(A ∪ B) ≥ max(P(A), P(B)).
Пример
От 1 до 50 кратните на 4 са 12, на 6 са 8, а на 12 са 4; кратните на 4 или 6 са 12 + 8 − 4 = 16 и вероятността е 16/50 = 8/25.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
P(Ā) = 0,72. Намерете P(A).
- 0,72
- 1,72
- 0,36
- 0,28
Отговор: 0,28
P(A) = 1 − 0,72 = 0,28.
Избира се случайно цяло число от 1 до 50. Каква е вероятността то да се дели на 4 или на 6?
- 2/5
- 1/5
- 8/25
- 7/25
Отговор: 8/25
Кратни на 4: 12; на 6: 8; на 12: 4. Благоприятни: 12 + 8 − 4 = 16; 16/50 = 8/25.
P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 и P(A ∩ B) = 0,1. Каква е вероятността да настъпи точно едно от двете събития?
- 0,7
- 0,6
- 0,8
- 0,4
Отговор: 0,6
P(A ∪ B) = 0,7; точно едно: 0,7 − 0,1 = 0,6.
Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът да е 7 или 11?
- 2/9
- 1/6
- 1/18
- 1/9
Отговор: 2/9
Сбор 7: 6 изхода; сбор 11: 2 изхода; (6 + 2)/36 = 2/9.
От числата 1, 2, ..., 10 се избират случайно две различни. Каква е вероятността сборът им да е четен?
- 4/9
- 1/2
- 5/9
- 2/9
Отговор: 4/9
Четни двойки: C52 = 10, нечетни двойки: 10; всички двойки: C102 = 45; 20/45 = 4/9.
Каква е вероятността на невъзможно събитие?
- 0
- 1
- 0,5
- −1
Отговор: 0
Невъзможното събитие няма благоприятни изходи.
Хвърлят се три монети. Каква е вероятността да има поне две ези?
- 3/8
- 1/4
- 7/8
- 1/2
Отговор: 1/2
Точно две ези: 3 изхода, три ези: 1 изход; 4/8 = 1/2.
P(A) = 0,7 и P(B) = 0,6. Колко е най-малката възможна стойност на P(A ∪ B)?
- 0,7
- 0,6
- 1,3
- 0,42
Отговор: 0,7
P(A ∪ B) ≥ P(A) = 0,7, а равенство има, когато B ⊂ A.
Избира се случайно двуцифрено число. Каква е вероятността цифрите му да са различни?
- 8/9
- 1/10
- 9/10
- 81/100
Отговор: 9/10
Двуцифрените числа са 90, с еднакви цифри са 9 (11, 22, ..., 99); 81/90 = 9/10.
Четирима души сядат случайно на 4 стола в редица. Каква е вероятността Иван и Мария да седнат един до друг?
- 1/2
- 1/3
- 1/4
- 1/6
Отговор: 1/2
Всички подреждания: 4! = 24; Иван и Мария един до друг: 3 · 2 · 2 = 12; 12/24 = 1/2.