Независими събития: стрелци, системи, хвърляния
Събитията A и B са независими, ако P(A ∩ B) = P(A)·P(B), т.е. настъпването на едното не променя вероятността на другото. Резултатите от различни хвърляния на зар или монета са независими. Ако A и B са независими, независими са и противоположните им събития. При задачи за "поне един" е удобно да се пресметне вероятността на противоположното събитие "нито един".
Какво да запомним
- Независимост: P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
- P(поне едно) = 1 − P(нито едно).
- Последователно свързани елементи: надеждностите се умножават.
- Паралелно свързани: 1 − (произведение на вероятностите за отказ).
Пример
Система от три паралелни елемента с надеждност по 0,8 работи с вероятност 1 − 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,992.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
A и B са независими, P(A) = 0,2 и P(B) = 0,5. Намерете P(A ∩ B).
- 0,1
- 0,7
- 0,25
- 0,4
Отговор: 0,1
P(A ∩ B) = 0,2 · 0,5 = 0,1.
Хвърлят се зар и монета. Каква е вероятността да се падне тура и число, по-голямо от 4?
- 1/3
- 1/12
- 1/6
- 1/4
Отговор: 1/6
P = 1/2 · 2/6 = 1/6.
Иван решава задача с вероятност 0,8, а Мария с вероятност 0,6, независимо един от друг. Каква е вероятността задачата да бъде решена?
- 0,92
- 0,48
- 0,7
- 0,6
Отговор: 0,92
P = 1 − 0,2 · 0,4 = 0,92.
P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 и P(A ∪ B) = 0,8. Независими ли са A и B?
- Не, защото P(A ∩ B) ≠ 0
- Да, защото P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Не, защото P(A) + P(B) > 1
- Не може да се определи
Отговор: Да, защото P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 − 0,8 = 0,3 = 0,6 · 0,5.
Колко най-малко пъти трябва да се хвърли зар, за да е вероятността за поне една шестица по-голяма от 1/2?
- 4
- 3
- 6
- 2
Отговор: 4
1 − (5/6)3 ≈ 0,42, а 1 − (5/6)4 ≈ 0,52.
Монета се хвърля 5 пъти. Каква е вероятността и петте пъти да се падне тура?
- 1/5
- 1/32
- 1/10
- 1/16
Отговор: 1/32
(1/2)5 = 1/32.
A и B са независими, P(A) = 0,3 и P(B) = 0,4. Намерете вероятността да настъпи A, но не и B.
- 0,12
- 0,42
- 0,18
- 0,28
Отговор: 0,18
P(A ∩ B̄) = 0,3 · (1 − 0,4) = 0,18.
Три последователно свързани независими елемента имат надеждност по 0,9. Каква е вероятността системата да работи?
- 0,729
- 0,9
- 0,999
- 0,27
Отговор: 0,729
Трябва да работят и трите: 0,93 = 0,729.
Три паралелно свързани независими елемента имат надеждност по 0,8. Системата работи, ако работи поне един. Каква е вероятността тя да работи?
- 0,992
- 0,512
- 0,8
- 0,008
Отговор: 0,992
P = 1 − 0,23 = 1 − 0,008 = 0,992.
Двама стрелци уцелват независимо с вероятности 0,8 и 0,5. Мишената е уцелена точно веднъж. Каква е вероятността да е уцелил първият?
- 0,4
- 0,8
- 0,5
- 0,2
Отговор: 0,8
P(само първият) = 0,8 · 0,5 = 0,4; P(само вторият) = 0,2 · 0,5 = 0,1; 0,4 : 0,5 = 0,8.