Разпределения на случайна величина: таблици и пресмятания
Случайната величина X приема различни стойности с определени вероятности; таблицата "стойност - вероятност" е нейното разпределение. Вероятностите са неотрицателни и сборът им е 1. Чрез разпределението се пресмятат вероятности като P(X ≤ a) или P(a < X < b), като се събират вероятностите на подходящите стойности. Разпределенията се получават от зарове, монети, теглене на топки и т.н.
Какво да запомним
- Всяка вероятност pi ≥ 0 и p1 + p2 + ... + pn = 1.
- P(a < X < b) е сборът от вероятностите на стойностите между a и b.
- Броят на ези при n хвърляния приема стойностите 0, 1, ..., n.
- При теглене без връщане се използват комбинации: Cnk.
Пример
От урна с 4 бели и 2 черни топки се теглят 3 без връщане. Броят X на черните е 0, 1 или 2 с вероятности 1/5, 3/5 и 1/5.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
X приема стойностите −1, 0 и 1 с вероятности 0,25, p и 0,25. Намерете p.
- 0,25
- 0,75
- 1
- 0,5
Отговор: 0,5
p = 1 − 0,25 − 0,25 = 0,5.
Хвърлят се два зара, а X е по-голямото от двете паднали се числа. Колко е P(X = 2)?
- 1/12
- 1/36
- 1/18
- 1/6
Отговор: 1/12
X = 2 при (1; 2), (2; 1) и (2; 2): 3/36 = 1/12.
X приема стойностите 0, 1 и 2 с вероятности 2p, p и p. Колко е P(X = 0)?
- 1/4
- 1/2
- 1/3
- 2/3
Отговор: 1/2
2p + p + p = 1, p = 1/4, P(X = 0) = 2p = 1/2.
Хвърлят се два зара, а X е разликата на по-голямото и по-малкото число. Колко е P(X = 1)?
- 1/6
- 1/3
- 5/36
- 5/18
Отговор: 5/18
Двойки с разлика 1: (1; 2), (2; 3), ..., (5; 6) и обратните, общо 10; 10/36 = 5/18.
От урна с 4 бели и 2 черни топки се теглят 3 без връщане, а X е броят на черните. Колко е P(X = 1)?
- 1/5
- 3/5
- 2/5
- 1/2
Отговор: 3/5
P(X = 1) = C21·C42/C63 = 2 · 6/20 = 3/5.
Може ли 0,3; 0,3; 0,3 да са вероятностите на всички стойности на случайна величина?
- Да
- Не, защото сборът им е 0,9
- Да, защото са положителни
- Не, защото са равни
Отговор: Не, защото сборът им е 0,9
Сборът на вероятностите трябва да е точно 1.
Хвърля се зар, а X е остатъкът при деление на 3 на падналото се число. Колко е P(X = 0)?
- 1/6
- 1/2
- 1/3
- 2/3
Отговор: 1/3
X = 0 при 3 и 6: 2/6 = 1/3.
X приема стойностите 1, 2, 3 и 4 с вероятности 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4. Колко е P(1 < X < 4)?
- 0,9
- 0,3
- 0,7
- 0,5
Отговор: 0,5
P(X = 2) + P(X = 3) = 0,2 + 0,3 = 0,5.
Монета се хвърля, докато се падне ези, но най-много 3 пъти. X е броят на хвърлянията. Колко е P(X = 3)?
- 1/8
- 1/2
- 3/8
- 1/4
Отговор: 1/4
X = 3, ако първите две хвърляния са тура: 1/2 · 1/2 = 1/4.
X е броят на ези при 5 хвърляния на монета. Колко е P(X = 3)?
- 5/16
- 3/5
- 1/8
- 1/2
Отговор: 5/16
P(X = 3) = C53/25 = 10/32 = 5/16.