Вероятности: задачи за упражнение

Условна вероятност

1. P(B) = 0,4 и P(A ∩ B) = 0,1. Намерете P(A | B).

   • 0,04
   • 0,4
   • 0,25
   • 0,1

   Отговор: 0,25

   P(A | B) = 0,1 : 0,4 = 0,25.

2. Хвърля се зар и се знае, че се е паднало просто число. Каква е вероятността то да е 2?

   • 1/6
   • 1/2
   • 1/4
   • 1/3

   Отговор: 1/3

   Простите числа от 1 до 6 са 2, 3 и 5.

3. Семейство има две деца и се знае, че по-голямото е момиче. Каква е вероятността и двете деца да са момичета?

   • 1/3
   • 1/4
   • 1/2
   • 2/3

   Отговор: 1/2

   Остава да се определи само по-малкото дете: момиче с вероятност 1/2.

4. P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 и P(B | A) = 0,6. Намерете P(A | B).

   • 0,6
   • 0,75
   • 0,3
   • 0,24

   Отговор: 0,75

   P(A ∩ B) = 0,5 · 0,6 = 0,3; P(A | B) = 0,3 : 0,4 = 0,75.

5. От тесте с 52 карти е изтеглена фигура (вале, дама или поп). Каква е вероятността тя да е дама?

   • 1/4
   • 1/13
   • 1/3
   • 3/13

   Отговор: 1/3

   Фигурите са 12, от тях 4 са дами: 4/12 = 1/3.

6. 60% от учениците обичат математика, а 40% обичат и математика, и физика. Каква е вероятността случайно избран любител на математиката да обича и физика?

   • 0,4
   • 2/3
   • 0,24
   • 0,6

   Отговор: 2/3

   P(Ф | М) = P(М ∩ Ф)/P(М) = 0,4 : 0,6 = 2/3.

7. От 10 изделия 3 са дефектни. Взимат се 2 без връщане и първото е дефектно. Каква е вероятността и второто да е дефектно?

   • 3/10
   • 1/15
   • 1/3
   • 2/9

   Отговор: 2/9

   Остават 9 изделия, от които 2 са дефектни.

8. Хвърлят се два зара и сборът е 7. Каква е вероятността на единия зар да е паднало 1?

   • 1/6
   • 1/2
   • 1/3
   • 2/7

   Отговор: 1/3

   Сбор 7 дават 6 двойки, от които (1; 6) и (6; 1) съдържат единица.

9. Болест засяга 1% от хората. Тест открива болния с вероятност 0,9, а при здрав дава положителен резултат с вероятност 0,1. Тестът е положителен. Каква е вероятността човекът да е болен?

   • 0,9
   • 1/12
   • 0,1
   • 1/11

   Отговор: 1/12

   P(+) = 0,01 · 0,9 + 0,99 · 0,1 = 0,108; P(болен | +) = 0,009 : 0,108 = 1/12.

10. Урна I има 2 бели и 3 черни топки, урна II има 4 бели и 1 черна. Хвърля се зар: при 1 или 2 се тегли от урна I, иначе от урна II. Каква е вероятността да се изтегли бяла топка?

    • 3/5
    • 2/3
    • 1/2
    • 8/15

    Отговор: 2/3

    P = 1/3 · 2/5 + 2/3 · 4/5 = 2/15 + 8/15 = 2/3.

Независими събития

1. A и B са независими, P(A) = 0,2 и P(B) = 0,5. Намерете P(A ∩ B).

   • 0,1
   • 0,7
   • 0,25
   • 0,4

   Отговор: 0,1

   P(A ∩ B) = 0,2 · 0,5 = 0,1.

2. Монета се хвърля 5 пъти. Каква е вероятността и петте пъти да се падне тура?

   • 1/5
   • 1/32
   • 1/10
   • 1/16

   Отговор: 1/32

   (1/2)⁵ = 1/32.

3. Хвърлят се зар и монета. Каква е вероятността да се падне тура и число, по-голямо от 4?

   • 1/3
   • 1/12
   • 1/6
   • 1/4

   Отговор: 1/6

   P = 1/2 · 2/6 = 1/6.

4. A и B са независими, P(A) = 0,3 и P(B) = 0,4. Намерете вероятността да настъпи A, но не и B.

   • 0,12
   • 0,42
   • 0,18
   • 0,28

   Отговор: 0,18

   P(A ∩ B̄) = 0,3 · (1 − 0,4) = 0,18.

5. Иван решава задача с вероятност 0,8, а Мария с вероятност 0,6, независимо един от друг. Каква е вероятността задачата да бъде решена?

   • 0,92
   • 0,48
   • 0,7
   • 0,6

   Отговор: 0,92

   P = 1 − 0,2 · 0,4 = 0,92.

6. Три последователно свързани независими елемента имат надеждност по 0,9. Каква е вероятността системата да работи?

   • 0,729
   • 0,9
   • 0,999
   • 0,27

   Отговор: 0,729

   Трябва да работят и трите: 0,9³ = 0,729.

7. P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 и P(A ∪ B) = 0,8. Независими ли са A и B?

   • Не, защото P(A ∩ B) ≠ 0
   • Да, защото P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
   • Не, защото P(A) + P(B) > 1
   • Не може да се определи

   Отговор: Да, защото P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

   P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 − 0,8 = 0,3 = 0,6 · 0,5.

8. Три паралелно свързани независими елемента имат надеждност по 0,8. Системата работи, ако работи поне един. Каква е вероятността тя да работи?

   • 0,992
   • 0,512
   • 0,8
   • 0,008

   Отговор: 0,992

   P = 1 − 0,2³ = 1 − 0,008 = 0,992.

9. Колко най-малко пъти трябва да се хвърли зар, за да е вероятността за поне една шестица по-голяма от 1/2?

   • 4
   • 3
   • 6
   • 2

   Отговор: 4

   1 − (5/6)³ ≈ 0,42, а 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,52.

10. Двама стрелци уцелват независимо с вероятности 0,8 и 0,5. Мишената е уцелена точно веднъж. Каква е вероятността да е уцелил първият?

    • 0,4
    • 0,8
    • 0,5
    • 0,2

    Отговор: 0,8

    P(само първият) = 0,8 · 0,5 = 0,4; P(само вторият) = 0,2 · 0,5 = 0,1; 0,4 : 0,5 = 0,8.

Действия с вероятности

1. P(Ā) = 0,72. Намерете P(A).

   • 0,72
   • 1,72
   • 0,36
   • 0,28

   Отговор: 0,28

   P(A) = 1 − 0,72 = 0,28.

2. Каква е вероятността на невъзможно събитие?

   • 0
   • 1
   • 0,5
   • −1

   Отговор: 0

   Невъзможното събитие няма благоприятни изходи.

3. Избира се случайно цяло число от 1 до 50. Каква е вероятността то да се дели на 4 или на 6?

   • 2/5
   • 1/5
   • 8/25
   • 7/25

   Отговор: 8/25

   Кратни на 4: 12; на 6: 8; на 12: 4. Благоприятни: 12 + 8 − 4 = 16; 16/50 = 8/25.

4. Хвърлят се три монети. Каква е вероятността да има поне две ези?

   • 3/8
   • 1/4
   • 7/8
   • 1/2

   Отговор: 1/2

   Точно две ези: 3 изхода, три ези: 1 изход; 4/8 = 1/2.

5. P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 и P(A ∩ B) = 0,1. Каква е вероятността да настъпи точно едно от двете събития?

   • 0,7
   • 0,6
   • 0,8
   • 0,4

   Отговор: 0,6

   P(A ∪ B) = 0,7; точно едно: 0,7 − 0,1 = 0,6.

6. P(A) = 0,7 и P(B) = 0,6. Колко е най-малката възможна стойност на P(A ∪ B)?

   • 0,7
   • 0,6
   • 1,3
   • 0,42

   Отговор: 0,7

   P(A ∪ B) ≥ P(A) = 0,7, а равенство има, когато B ⊂ A.

7. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът да е 7 или 11?

   • 2/9
   • 1/6
   • 1/18
   • 1/9

   Отговор: 2/9

   Сбор 7: 6 изхода; сбор 11: 2 изхода; (6 + 2)/36 = 2/9.

8. Избира се случайно двуцифрено число. Каква е вероятността цифрите му да са различни?

   • 8/9
   • 1/10
   • 9/10
   • 81/100

   Отговор: 9/10

   Двуцифрените числа са 90, с еднакви цифри са 9 (11, 22, ..., 99); 81/90 = 9/10.

9. От числата 1, 2, ..., 10 се избират случайно две различни. Каква е вероятността сборът им да е четен?

   • 4/9
   • 1/2
   • 5/9
   • 2/9

   Отговор: 4/9

   Четни двойки: C₅² = 10, нечетни двойки: 10; всички двойки: C₁₀² = 45; 20/45 = 4/9.

10. Четирима души сядат случайно на 4 стола в редица. Каква е вероятността Иван и Мария да седнат един до друг?

    • 1/2
    • 1/3
    • 1/4
    • 1/6

    Отговор: 1/2

    Всички подреждания: 4! = 24; Иван и Мария един до друг: 3 · 2 · 2 = 12; 12/24 = 1/2.

Разпределения

1. X приема стойностите −1, 0 и 1 с вероятности 0,25, p и 0,25. Намерете p.

   • 0,25
   • 0,75
   • 1
   • 0,5

   Отговор: 0,5

   p = 1 − 0,25 − 0,25 = 0,5.

2. Може ли 0,3; 0,3; 0,3 да са вероятностите на всички стойности на случайна величина?

   • Да
   • Не, защото сборът им е 0,9
   • Да, защото са положителни
   • Не, защото са равни

   Отговор: Не, защото сборът им е 0,9

   Сборът на вероятностите трябва да е точно 1.

3. Хвърлят се два зара, а X е по-голямото от двете паднали се числа. Колко е P(X = 2)?

   • 1/12
   • 1/36
   • 1/18
   • 1/6

   Отговор: 1/12

   X = 2 при (1; 2), (2; 1) и (2; 2): 3/36 = 1/12.

4. Хвърля се зар, а X е остатъкът при деление на 3 на падналото се число. Колко е P(X = 0)?

   • 1/6
   • 1/2
   • 1/3
   • 2/3

   Отговор: 1/3

   X = 0 при 3 и 6: 2/6 = 1/3.

5. X приема стойностите 0, 1 и 2 с вероятности 2p, p и p. Колко е P(X = 0)?

   • 1/4
   • 1/2
   • 1/3
   • 2/3

   Отговор: 1/2

   2p + p + p = 1, p = 1/4, P(X = 0) = 2p = 1/2.

6. X приема стойностите 1, 2, 3 и 4 с вероятности 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4. Колко е P(1 < X < 4)?

   • 0,9
   • 0,3
   • 0,7
   • 0,5

   Отговор: 0,5

   P(X = 2) + P(X = 3) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

7. Хвърлят се два зара, а X е разликата на по-голямото и по-малкото число. Колко е P(X = 1)?

   • 1/6
   • 1/3
   • 5/36
   • 5/18

   Отговор: 5/18

   Двойки с разлика 1: (1; 2), (2; 3), ..., (5; 6) и обратните, общо 10; 10/36 = 5/18.

8. Монета се хвърля, докато се падне ези, но най-много 3 пъти. X е броят на хвърлянията. Колко е P(X = 3)?

   • 1/8
   • 1/2
   • 3/8
   • 1/4

   Отговор: 1/4

   X = 3, ако първите две хвърляния са тура: 1/2 · 1/2 = 1/4.

9. От урна с 4 бели и 2 черни топки се теглят 3 без връщане, а X е броят на черните. Колко е P(X = 1)?

   • 1/5
   • 3/5
   • 2/5
   • 1/2

   Отговор: 3/5

   P(X = 1) = C₂¹·C₄²/C₆³ = 2 · 6/20 = 3/5.

10. X е броят на ези при 5 хвърляния на монета. Колко е P(X = 3)?

    • 5/16
    • 3/5
    • 1/8
    • 1/2

    Отговор: 5/16

    P(X = 3) = C₅³/2⁵ = 10/32 = 5/16.

Геометрична вероятност

1. Точка се избира случайно в отсечката [0; 16]. Каква е вероятността тя да е в [4; 10]?

   • 3/8
   • 5/8
   • 1/4
   • 3/4

   Отговор: 3/8

   Дължина 6 от 16: 6/16 = 3/8.

2. Колело на късмета има сектор от 45°. Каква е вероятността стрелката да спре в него?

   • 1/4
   • 45/100
   • 1/8
   • 1/45

   Отговор: 1/8

   45° : 360° = 1/8.

3. Число x се избира случайно в [0; 6]. Каква е вероятността x² < 9?

   • 1/4
   • 3/4
   • 1/2
   • 1/3

   Отговор: 1/2

   В [0; 6] неравенството е изпълнено за 0 ≤ x < 3: 3/6 = 1/2.

4. Точка се избира случайно в кръг с радиус 5. Каква е вероятността разстоянието ѝ до центъра да е между 3 и 4?

   • 1/5
   • 1/25
   • 9/25
   • 7/25

   Отговор: 7/25

   Лицето на пръстена е π(16 − 9) = 7π, а на кръга 25π: 7/25.

5. Точка се избира случайно в квадрат със страна 6. Каква е вероятността тя да е на разстояние поне 1 от всяка страна?

   • 5/9
   • 2/3
   • 1/9
   • 4/9

   Отговор: 4/9

   Благоприятна е вътрешният квадрат със страна 4: 16/36 = 4/9.

6. Влак на метрото идва на всеки 4 минути. Каква е вероятността пътник, дошъл в случаен момент, да чака повече от 3 минути?

   • 3/4
   • 1/3
   • 1/4
   • 1/2

   Отговор: 1/4

   Чака повече от 3 минути, ако дойде в първата минута след тръгването на влака: 1/4.

7. Число a се избира случайно в [0; 5]. Каква е вероятността уравнението x² − 4x + a = 0 да няма реални корени?

   • 4/5
   • 1/5
   • 1/4
   • 0

   Отговор: 1/5

   D = 16 − 4a < 0 при a > 4: дължина 1 от 5.

8. Точка се избира случайно в правоъгълник ABCD. Каква е вероятността тя да е в триъгълника ABM, където M е средата на CD?

   • 1/4
   • 1/3
   • 2/3
   • 1/2

   Отговор: 1/2

   Триъгълникът има основа AB и височина, равна на височината на правоъгълника: лицето му е половината.

9. Числата x и y се избират случайно в [0; 2]. Каква е вероятността x + y > 3?

   • 1/4
   • 3/8
   • 1/2
   • 1/8

   Отговор: 1/8

   Благоприятен е триъгълник с катети 1 и лице 1/2; лицето на квадрата е 4; 1/2 : 4 = 1/8.

10. Пръчка с дължина 1 m се чупи в случайна точка. Каква е вероятността по-дългото парче да е поне 3 пъти по-дълго от по-късото?

    • 1/2
    • 1/4
    • 3/4
    • 1/3

    Отговор: 1/2

    По-късото парче трябва да е най-много 25 cm: точката е в [0; 0,25] или в [0,75; 1], общо 0,5.

Финален въпрос