ТърсиКод от учителяЗапочни безплатноЗапочни
Започни безплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
ИгриЗа родителиЦениУченик? Влез с код от учителя
Още
НВО и матуриСтатииВидеоЗа училища
Математика · 11 клас

Тригонометрия: пресмятания и преобразувания

51 въпроса с отговори, 10 ключови понятия и 6 задачи за мислене и 19 игри за проектора.

  1. 1 Тема: Тригонометрия: пресмятания и преобразувания
  2. 2 Изберете игра
  3. 3 Пуснете на проектора
По тема 50 въпроса, 10 понятия, 6 задачи · 19 игриДобави в любими

Тригонометрия: пресмятания и преобразувания

Тангенс и котангенсПоловин ъгълСбор в произведениеПроизведение в сборПреобразувания

Табло и Вярно или невярно са безплатни с профил. Всички игри и „На живо“: 30 дни безплатно за учители. Цени

На живо с телефониУчениците влизат с код и отговарят от телефона си. Класация в реално време.
Без интернет в класната стая?Без профил можете да свалите безплатните игри (Табло и Вярно или невярно). С профил се свалят всички игри по темата.

Без проектор и без телефони

Отбелязвате от своя компютър, а всеки отговор отива в профила на ученика.
Учителят водиВъпросът е на вашия компютър. Избирате ученик, той отговаря устно, вие цъкате Вярно или Грешно.Само компютърКарти А Б В ГЦелият клас вдига карта с буква наведнъж. Цъкате само сгрешилите, отговорите отиват в профилите.Карти от принтер или пръсти 1-4Тест за печатРазпечатайте тест с ключ. След проверката цъкате грешните отговори в таблица и виждате кое е трудно.Принтер

Отборни битки

Класът е разделен на отбори, които се състезават за точки.
Табло5 теми по 5 въпроса, от 100 до 500 точки. Отборите избират поле, едно поле крие двойна стойност.БезплатноОтборен тест А/Б/В/ГВъпрос с четири отговора и таймер. Всеки отбор вдига карта с буква.Пусни на проектораНадбягванеВсеки отбор има писта. Верният отговор движи колата напред, трудният въпрос дава турбо.Пусни на проектораТеглене на въжеДва отбора един срещу друг. Всеки верен отговор дърпа въжето към твоя отбор.Пусни на проектораМорски шахХ срещу О на поле 3 на 3. За да заемеш квадрат, трябва да отговориш на въпроса в него.Пусни на проектораБомбаБомбата с неизвестен фитил минава от отбор на отбор при верен отговор. Не я задържай!Пусни на проектораКолелотоЗавъртете колелото: то избира темата и наградата. Понякога носи бонус, понякога взима хода.Пусни на проектора

Целият клас

Всички играят заедно или един по един пред класа.
Ескейп стаяПет заключени врати и часовник. Всяка решена врата дава цифра от кода за изход.Пусни на проектораМилионер15 въпроса с нарастваща трудност, три жокера и сигурни суми.Пусни на проектораГорещ столЕдин ученик, 60 секунди и колкото може повече верни отговори. Класът следи класацията.Пусни на проектораБингоРазпечатайте картите. Учителят чете въпросите, учениците зачеркват отговорите.Пусни на проектораВярно или невярноБързи твърдения. Класът гласува с палец нагоре или надолу.Безплатно

Думи и понятия

Ключовите понятия от темата: познай, свържи, запомни.
КръстословицаКръстословица от 10 ключови понятия. Решавате на екрана или я разпечатвате.Пусни на проектораБесеницаПознайте понятието буква по буква, преди да свършат опитите.Пусни на проектораТайният обектТри подсказки от трудна към лесна. Колкото по-рано познаеш, толкова повече точки.Пусни на проектораМемориОбърнати карти с въпроси и отговори. Намерете двойките и запомнете къде са.Пусни на проектораСвържи двойкитеШест въпроса и шест отговора, разбъркани. Отборите ги свързват на ред.Пусни на проектора

Мислене

Подреждане и откриване на грешки: разбиране, не наизуст.
ПодредиРазбъркани стъпки, събития или стойности. Класът ги подрежда в правилния ред.Пусни на проектораНамери грешкатаРешение или бележки с един грешен ред. Кой ще го открие пръв?Пусни на проектора

Уроци в темата

Кратко обяснение, най-важното за запомняне и въпроси за всеки урок от учебната програма.

Урок 1 · 10 въпросаТангенс и котангенс на обобщен ъгъл: пресмятанияУрок 2 · 10 въпросаФормули за половин ъгъл: пресмятанияУрок 3 · 10 въпросаСбор и разлика на тригонометрични функции: пресмятанияУрок 4 · 10 въпросаПроизведение на тригонометрични функции: пресмятанияУрок 5 · 10 въпросаПреобразуване на тригонометрични изрази: формули за привеждане и тъждества

Въпроси и отговори: Тригонометрия: пресмятания и преобразувания

Всички въпроси от комплекта по математика за 11 клас. Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението. Удобно за преговор преди контролно и за подготовка у дома.

Тангенс и котангенс

  1. Ъгълът α е от IV квадрант и tg α = −1. Колко е α, ако 0° ≤ α < 360°?
    • 135°
    • 315°
    • 225°
    • 45°

    Отговор: 315°

    tg α = −1 при α = 135° и α = 315°; в IV квадрант е 315°.

  2. Какъв е знакът на tg α, ако краят на ъгъла α е в III квадрант?
    • Отрицателен
    • Положителен
    • Нула
    • Не е дефиниран

    Отговор: Положителен

    В III квадрант sin α < 0 и cos α < 0, затова tg α = sin α/cos α > 0.

  3. Пресметнете tg 120°.
    • √3
    • −√3
    • −√3/3
    • √3/3

    Отговор: −√3

    tg 120° = tg(180° − 60°) = −tg 60° = −√3.

  4. Пресметнете cotg 135°.
    • −1
    • 1
    • √3
    • −√3

    Отговор: −1

    cotg 135° = cotg(180° − 45°) = −cotg 45° = −1.

  5. Пресметнете cotg 210°.
    • −√3
    • √3/3
    • √3
    • −√3/3

    Отговор: √3

    cotg 210° = cotg(180° + 30°) = cotg 30° = √3.

  6. Пресметнете tg(−60°).
    • √3
    • −√3/3
    • −1/2
    • −√3

    Отговор: −√3

    Тангенсът е нечетна функция: tg(−60°) = −tg 60° = −√3.

  7. Пресметнете tg 225° + cotg 315°.
    • 2
    • −2
    • 0
    • 1

    Отговор: 0

    tg 225° = tg 45° = 1; cotg 315° = −cotg 45° = −1; сборът е 0.

  8. За кой от ъглите правата през началото и края му не пресича оста на котангенсите?
    • 90°
    • 180°
    • 45°
    • 270°

    Отговор: 180°

    При 180° правата е абсцисната ос, успоредна на оста на котангенсите; cotg 180° не е дефиниран.

  9. Колко решения има уравнението tg x = 2 в интервала [0°; 720°)?
    • 2
    • 1
    • 8
    • 4

    Отговор: 4

    tg има период 180°, а в [0°; 720°) се съдържат 4 периода: по едно решение във всеки.

  10. Пресметнете tg 1° · tg 2° · tg 3° · ... · tg 89°.
    • 1
    • 0
    • 89
    • √3

    Отговор: 1

    Множителите се групират по двойки tg α · tg(90° − α) = 1, а средният е tg 45° = 1.

Половин ъгъл

  1. Пресметнете cos222,5°.
    • (2 − √2)/4
    • (2 + √2)/4
    • √2/2
    • 1/2

    Отговор: (2 + √2)/4

    cos222,5° = (1 + cos 45°)/2 = (1 + √2/2)/2 = (2 + √2)/4.

  2. Пресметнете 2cos267,5° − 1.
    • √2/2
    • −1/2
    • −√2/2
    • 1/2

    Отговор: −√2/2

    2cos267,5° − 1 = cos 135° = −√2/2.

  3. cos α = 7/25 и α е остър ъгъл. Намерете cos(α/2).
    • 4/5
    • 3/5
    • 16/25
    • 7/25

    Отговор: 4/5

    cos2(α/2) = (1 + 7/25)/2 = 16/25; α/2 е остър, затова cos(α/2) = 4/5.

  4. Опростете √((1 − cos 2α)/2) при 0° < α < 90°.
    • cos α
    • −sin α
    • sin α
    • tg α

    Отговор: sin α

    (1 − cos 2α)/2 = sin2α, а при остър ъгъл sin α > 0.

  5. cos α = −0,8 и 90° < α < 180°. Намерете tg(α/2).
    • 3
    • 1/3
    • −3
    • −1/3

    Отговор: 3

    sin α = 0,6; tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) = 0,6/0,2 = 3.

  6. Пресметнете tg 112,5°.
    • −(√2 + 1)
    • √2 + 1
    • 1 − √2
    • √2 − 1

    Отговор: −(√2 + 1)

    tg 112,5° = (1 − cos 225°)/sin 225° = (1 + √2/2)/(−√2/2) = −(√2 + 1).

  7. Пресметнете sin 15° по формулата за половин ъгъл.
    • √(2 + √3)/2
    • (2 − √3)/4
    • √(2 − √3)/2
    • √3/2

    Отговор: √(2 − √3)/2

    sin215° = (1 − cos 30°)/2 = (2 − √3)/4, а sin 15° > 0.

  8. sin α = 24/25 и 90° < α < 180°. Намерете sin(α/2).
    • 4/5
    • 3/5
    • −4/5
    • 12/25

    Отговор: 4/5

    cos α = −7/25; sin2(α/2) = (1 + 7/25)/2 = 16/25; α/2 е от I квадрант, затова sin(α/2) = 4/5.

  9. tg(α/2) = 2. Намерете cos α.
    • 3/5
    • 4/5
    • −4/5
    • −3/5

    Отговор: −3/5

    cos α = (1 − t2)/(1 + t2) = (1 − 4)/(1 + 4) = −3/5.

  10. Опростете (1 + cos α)/sin α при 0° < α < 180°.
    • tg(α/2)
    • cotg α
    • tg α
    • cotg(α/2)

    Отговор: cotg(α/2)

    (1 + cos α)/sin α = 2cos2(α/2)/(2sin(α/2)cos(α/2)) = cotg(α/2).

Сбор в произведение

  1. Пресметнете sin 105° + sin 15°.
    • √2/2
    • √3/2
    • 1
    • √6/2

    Отговор: √6/2

    sin 105° + sin 15° = 2sin 60°·cos 45° = 2 · (√3/2) · (√2/2) = √6/2.

  2. На какво е равно sin α − sin β?
    • 2cos((α + β)/2)·sin((α − β)/2)
    • 2sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
    • 2cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
    • −2sin((α + β)/2)·sin((α − β)/2)

    Отговор: 2cos((α + β)/2)·sin((α − β)/2)

    Това е формулата за разлика на синуси.

  3. Пресметнете cos 15° − cos 75°.
    • √6/2
    • 1/2
    • −√2/2
    • √2/2

    Отговор: √2/2

    cos 15° − cos 75° = −2sin 45°·sin(−30°) = 2 · (√2/2) · (1/2) = √2/2.

  4. Пресметнете cos 165° + cos 75°.
    • √2/2
    • −√2/2
    • −√6/2
    • 1/2

    Отговор: −√2/2

    cos 165° + cos 75° = 2cos 120°·cos 45° = 2 · (−1/2) · (√2/2) = −√2/2.

  5. Запишете като произведение cos 5x + cos x.
    • 2cos 3x·cos 2x
    • 2sin 3x·sin 2x
    • 2cos 6x·cos 4x
    • −2sin 3x·sin 2x

    Отговор: 2cos 3x·cos 2x

    cos 5x + cos x = 2cos((5x + x)/2)·cos((5x − x)/2) = 2cos 3x·cos 2x.

  6. Запишете като произведение sin 4x + sin 2x.
    • 2cos 3x·sin x
    • 2sin 3x·cos x
    • 2sin 6x·cos 2x
    • 2sin 3x·sin x

    Отговор: 2sin 3x·cos x

    sin 4x + sin 2x = 2sin((4x + 2x)/2)·cos((4x − 2x)/2) = 2sin 3x·cos x.

  7. Опростете (sin 7α − sin α)/(cos 7α + cos α).
    • tg 4α
    • cotg 3α
    • tg 3α
    • tg α

    Отговор: tg 3α

    Числител: 2cos 4α·sin 3α; знаменател: 2cos 4α·cos 3α; частното е tg 3α.

  8. Пресметнете (cos 70° + cos 50°)/cos 10°.
    • 1/2
    • 1
    • √3
    • 2

    Отговор: 1

    cos 70° + cos 50° = 2cos 60°·cos 10° = cos 10°.

  9. Пресметнете sin 20° + sin 40° − sin 80°.
    • 1/2
    • 0
    • √3/2
    • 1

    Отговор: 0

    sin 20° + sin 40° = 2sin 30°·cos 10° = cos 10° = sin 80°.

  10. Пресметнете (sin 40° + sin 20°)/(cos 40° + cos 20°).
    • √3
    • 1
    • √3/3
    • √3/2

    Отговор: √3/3

    Частното е 2sin 30°cos 10°/(2cos 30°cos 10°) = tg 30° = √3/3.

Произведение в сбор

  1. Пресметнете 2cos 75°·cos 15°.
    • √3/2
    • 1/2
    • 1
    • 0

    Отговор: 1/2

    2cos 75°·cos 15° = cos 60° + cos 90° = 1/2.

  2. Пресметнете 2sin 30°·cos 60°.
    • 1
    • √3/2
    • 1/4
    • 1/2

    Отговор: 1/2

    2sin 30°·cos 60° = sin 90° + sin(−30°) = 1 − 1/2 = 1/2.

  3. Пресметнете 2sin 52,5°·sin 7,5°.
    • (√2 + 1)/2
    • (√3 − 1)/2
    • 1/2
    • (√2 − 1)/2

    Отговор: (√2 − 1)/2

    2sin 52,5°·sin 7,5° = cos 45° − cos 60° = √2/2 − 1/2.

  4. Пресметнете 2cos 67,5°·cos 22,5°.
    • (√2 + 1)/2
    • 1/2
    • √2
    • √2/2

    Отговор: √2/2

    2cos 67,5°·cos 22,5° = cos 45° + cos 90° = √2/2.

  5. Запишете като сбор 2sin 5x·cos 2x.
    • sin 7x + sin 3x
    • sin 7x − sin 3x
    • cos 7x + cos 3x
    • sin 10x

    Отговор: sin 7x + sin 3x

    2sin 5x·cos 2x = sin(5x + 2x) + sin(5x − 2x).

  6. Запишете като сбор 2sin x·sin 4x.
    • cos 5x − cos 3x
    • sin 5x + sin 3x
    • cos 3x − cos 5x
    • cos 3x + cos 5x

    Отговор: cos 3x − cos 5x

    2sin x·sin 4x = cos(4x − x) − cos(4x + x).

  7. Пресметнете 4sin 15°·cos 15°·cos 30°.
    • 1/2
    • √3
    • √3/2
    • 1

    Отговор: √3/2

    2sin 15°cos 15° = sin 30°, после 2sin 30°cos 30° = sin 60° = √3/2.

  8. Опростете 2sin(60° + α)·sin(60° − α).
    • cos 2α − 1/2
    • sin 2α + 1/2
    • 1/2
    • cos 2α + 1/2

    Отговор: cos 2α + 1/2

    2sin(60° + α)sin(60° − α) = cos 2α − cos 120° = cos 2α + 1/2.

  9. Пресметнете cos(π/7)·cos(2π/7)·cos(4π/7).
    • −1/8
    • 1/8
    • 1/4
    • −1/4

    Отговор: −1/8

    Умножаваме и делим на sin(π/7) и прилагаме три пъти sin 2x = 2sin x cos x: sin(8π/7)/(8sin(π/7)) = −1/8, защото sin(8π/7) = −sin(π/7).

  10. Колко е най-малката стойност на y = 2sin(x + 15°)·cos(x − 15°)?
    • −1/2
    • −1
    • −3/2
    • 0

    Отговор: −1/2

    y = sin 2x + sin 30° = sin 2x + 1/2; най-малката стойност е −1 + 1/2 = −1/2.

Преобразувания

  1. На какво е равно sin(180° − α)?
    • sin α
    • −sin α
    • cos α
    • −cos α

    Отговор: sin α

    Ъглите α и 180° − α имат еднакви синуси.

  2. На какво е равно tg(180° + α)?
    • −tg α
    • tg α
    • cotg α
    • −cotg α

    Отговор: tg α

    Тангенсът има период 180°.

  3. Опростете sin(90° − α)·tg α.
    • cos α
    • sin α
    • tg α
    • 1

    Отговор: sin α

    sin(90° − α) = cos α, а cos α·tg α = sin α.

  4. Опростете cos2α·(1 + tg2α).
    • 1
    • cos2α
    • tg2α
    • sin2α

    Отговор: 1

    1 + tg2α = 1/cos2α.

  5. Опростете sin 2α/(1 + cos 2α).
    • tg α
    • cotg α
    • sin α
    • 2tg α

    Отговор: tg α

    sin 2α/(1 + cos 2α) = 2sin α cos α/(2cos2α) = tg α.

  6. Опростете sin 4α/(2cos 2α).
    • cos 2α
    • 2sin 2α
    • sin 2α
    • tg 2α

    Отговор: sin 2α

    sin 4α = 2sin 2α cos 2α.

  7. Пресметнете sin215° + sin275°.
    • 1/2
    • √3/2
    • 1
    • 2

    Отговор: 1

    sin 75° = cos 15°, затова сборът е sin215° + cos215° = 1.

  8. Пресметнете cos415° − sin415°.
    • 1/2
    • 1
    • √3/2
    • √2/2

    Отговор: √3/2

    cos4α − sin4α = (cos2α − sin2α)(cos2α + sin2α) = cos 2α = cos 30°.

  9. На какво е равно (cos α + sin α)/(cos α − sin α)?
    • tg(45° − α)
    • cotg α
    • tg 2α
    • tg(45° + α)

    Отговор: tg(45° + α)

    Делим на cos α: (1 + tg α)/(1 − tg α) = tg(45° + α).

  10. Пресметнете tg 20°·tg 40°·tg 80°.
    • 1
    • √3/3
    • 3
    • √3

    Отговор: √3

    В сила е tg x·tg(60° − x)·tg(60° + x) = tg 3x; при x = 20° се получава tg 60° = √3.

Финален въпрос

Намерете най-голямата стойност на функцията y = 3sin x + 4cos x.

Отговор: 5

3sin x + 4cos x = 5(0,6sin x + 0,8cos x) = 5sin(x + φ), където cos φ = 0,6 и sin φ = 0,8; най-голямата стойност е 5.

Ключови понятия по темата

Котангенс
Отношението cos α : sin α
Асимптота
Права, към която графиката се приближава неограничено
Окръжност
Множеството точки на дадено разстояние от център
Дъга
Част от окръжност между две нейни точки
Сектор
Част от кръг между два радиуса и дъга
Произведение
Резултатът от умножение
Сбор
Резултатът от събиране
Тангенсоида
Графиката на функцията y = tg x
Амплитуда
Най-голямото отклонение на синусоидата от средната ѝ линия
Ордината
Второто от двете числа, които задават точка в равнината

Често задавани въпроси

Как да проведа час по темата „Тригонометрия: пресмятания и преобразувания“ с игра?

Изберете игра от комплекта и я пуснете на проектора или интерактивната дъска. Табло е добро за преговор на целия раздел, Ескейп стая е подходяща преди контролно, а Вярно или невярно е бърза загрявка в началото на часа. Не е нужно нищо за инсталиране.

По учебната програма ли са въпросите за 11 клас?

Да. Въпросите следват учебната програма на МОН по математика за 11 клас (втори гимназиален етап) и покриват: Тангенс и котангенс, Половин ъгъл, Сбор в произведение, Произведение в сбор, Преобразувания.

Могат ли учениците да отговарят от телефоните си?

Да. С режим „На живо“ всеки ученик влиза с код от телефона си, отговаря на въпросите и вижда класацията в реално време.

Може ли детето да упражнява темата у дома?

Да. В раздел „У дома“ детето играе със същите въпроси, събира звезди и повтаря грешките си, а родителят вижда напредъка.

Още теми по математика

11 клас · I срокМатематика 11 клас: преговор първи срок11 клас · II срокМатематика 11 клас: преговор втори срок11 клас · По темаМатематика 11 клас: Степен и логаритъм11 клас · По темаСтепен и логаритъм: задачи за упражнение11 клас · По темаМатематика 11 клас: Решаване на равнинни фигури11 клас · По темаМатематика 11 клас: Тригонометрия11 клас · По темаМатематика 11 клас: Вероятности11 клас · По темаВероятности: задачи за упражнение10 клас · I срокМатематика 10 клас: преговор първи срок10 клас · II срокМатематика 10 клас: преговор втори срок12 клас · I срокМатематика 12 клас: към ДЗИ, първи срок12 клас · II срокМатематика 12 клас: към ДЗИ, втори срок

Всички теми по математика за 11 клас · Всички игри