ТърсиКод от учителяЗапочни безплатноЗапочни
Започни безплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
ИгриЗа родителиЦениУченик? Влез с код от учителя
Още
НВО и матуриСтатииВидеоЗа училища
Математика · 11 клас · урок 2 от 5

Формули за половин ъгъл: пресмятания

Формулите за половин ъгъл следват от формулите за cos 2α: sin2(α/2) = (1 − cos α)/2 и cos2(α/2) = (1 + cos α)/2. Знакът на sin(α/2) и cos(α/2) се определя от квадранта на ъгъла α/2. За тангенса има и формули без корен: tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) = (1 − cos α)/sin α. Чрез t = tg(α/2) се изразяват sin α = 2t/(1 + t2) и cos α = (1 − t2)/(1 + t2).

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • sin2(α/2) = (1 − cos α)/2, cos2(α/2) = (1 + cos α)/2.
  • tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) = (1 − cos α)/sin α.
  • Ако 0° < α < 180°, то 0° < α/2 < 90°.
  • cos α = (1 − t2)/(1 + t2), където t = tg(α/2).

Пример

При cos α = −0,8 и 90° < α < 180°: sin α = 0,6 и tg(α/2) = 0,6/(1 − 0,8) = 3.

Проверете се: 10 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Пресметнете cos222,5°.
    • (2 − √2)/4
    • (2 + √2)/4
    • √2/2
    • 1/2

    Отговор: (2 + √2)/4

    cos222,5° = (1 + cos 45°)/2 = (1 + √2/2)/2 = (2 + √2)/4.

  2. cos α = 7/25 и α е остър ъгъл. Намерете cos(α/2).
    • 4/5
    • 3/5
    • 16/25
    • 7/25

    Отговор: 4/5

    cos2(α/2) = (1 + 7/25)/2 = 16/25; α/2 е остър, затова cos(α/2) = 4/5.

  3. cos α = −0,8 и 90° < α < 180°. Намерете tg(α/2).
    • 3
    • 1/3
    • −3
    • −1/3

    Отговор: 3

    sin α = 0,6; tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) = 0,6/0,2 = 3.

  4. Пресметнете sin 15° по формулата за половин ъгъл.
    • √(2 + √3)/2
    • (2 − √3)/4
    • √(2 − √3)/2
    • √3/2

    Отговор: √(2 − √3)/2

    sin215° = (1 − cos 30°)/2 = (2 − √3)/4, а sin 15° > 0.

  5. tg(α/2) = 2. Намерете cos α.
    • 3/5
    • 4/5
    • −4/5
    • −3/5

    Отговор: −3/5

    cos α = (1 − t2)/(1 + t2) = (1 − 4)/(1 + 4) = −3/5.

  6. Пресметнете 2cos267,5° − 1.
    • √2/2
    • −1/2
    • −√2/2
    • 1/2

    Отговор: −√2/2

    2cos267,5° − 1 = cos 135° = −√2/2.

  7. Опростете √((1 − cos 2α)/2) при 0° < α < 90°.
    • cos α
    • −sin α
    • sin α
    • tg α

    Отговор: sin α

    (1 − cos 2α)/2 = sin2α, а при остър ъгъл sin α > 0.

  8. Пресметнете tg 112,5°.
    • −(√2 + 1)
    • √2 + 1
    • 1 − √2
    • √2 − 1

    Отговор: −(√2 + 1)

    tg 112,5° = (1 − cos 225°)/sin 225° = (1 + √2/2)/(−√2/2) = −(√2 + 1).

  9. sin α = 24/25 и 90° < α < 180°. Намерете sin(α/2).
    • 4/5
    • 3/5
    • −4/5
    • 12/25

    Отговор: 4/5

    cos α = −7/25; sin2(α/2) = (1 + 7/25)/2 = 16/25; α/2 е от I квадрант, затова sin(α/2) = 4/5.

  10. Опростете (1 + cos α)/sin α при 0° < α < 180°.
    • tg(α/2)
    • cotg α
    • tg α
    • cotg(α/2)

    Отговор: cotg(α/2)

    (1 + cos α)/sin α = 2cos2(α/2)/(2sin(α/2)cos(α/2)) = cotg(α/2).