Произведение на тригонометрични функции: пресмятания
Формулите за произведение превръщат произведение в сбор: 2sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β), 2cos α cos β = cos(α − β) + cos(α + β), 2sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β). С тях се пресмятат произведения на синуси и косинуси на нетаблични ъгли, намират се най-голяма и най-малка стойност и се доказват тъждества.
Какво да запомним
- 2sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β).
- 2cos α cos β = cos(α − β) + cos(α + β).
- 2sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β).
- cos 20°·cos 40°·cos 80° = 1/8 (умножава се и се дели на sin 20°).
Пример
y = 2sin(x + 15°)·cos(x − 15°) = sin 2x + sin 30° = sin 2x + 1/2, затова стойностите са от −1/2 до 3/2.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Пресметнете 2cos 75°·cos 15°.
- √3/2
- 1/2
- 1
- 0
Отговор: 1/2
2cos 75°·cos 15° = cos 60° + cos 90° = 1/2.
Пресметнете 2sin 52,5°·sin 7,5°.
- (√2 + 1)/2
- (√3 − 1)/2
- 1/2
- (√2 − 1)/2
Отговор: (√2 − 1)/2
2sin 52,5°·sin 7,5° = cos 45° − cos 60° = √2/2 − 1/2.
Запишете като сбор 2sin 5x·cos 2x.
- sin 7x + sin 3x
- sin 7x − sin 3x
- cos 7x + cos 3x
- sin 10x
Отговор: sin 7x + sin 3x
2sin 5x·cos 2x = sin(5x + 2x) + sin(5x − 2x).
Пресметнете 4sin 15°·cos 15°·cos 30°.
- 1/2
- √3
- √3/2
- 1
Отговор: √3/2
2sin 15°cos 15° = sin 30°, после 2sin 30°cos 30° = sin 60° = √3/2.
Пресметнете cos(π/7)·cos(2π/7)·cos(4π/7).
- −1/8
- 1/8
- 1/4
- −1/4
Отговор: −1/8
Умножаваме и делим на sin(π/7) и прилагаме три пъти sin 2x = 2sin x cos x: sin(8π/7)/(8sin(π/7)) = −1/8, защото sin(8π/7) = −sin(π/7).
Пресметнете 2sin 30°·cos 60°.
- 1
- √3/2
- 1/4
- 1/2
Отговор: 1/2
2sin 30°·cos 60° = sin 90° + sin(−30°) = 1 − 1/2 = 1/2.
Пресметнете 2cos 67,5°·cos 22,5°.
- (√2 + 1)/2
- 1/2
- √2
- √2/2
Отговор: √2/2
2cos 67,5°·cos 22,5° = cos 45° + cos 90° = √2/2.
Запишете като сбор 2sin x·sin 4x.
- cos 5x − cos 3x
- sin 5x + sin 3x
- cos 3x − cos 5x
- cos 3x + cos 5x
Отговор: cos 3x − cos 5x
2sin x·sin 4x = cos(4x − x) − cos(4x + x).
Опростете 2sin(60° + α)·sin(60° − α).
- cos 2α − 1/2
- sin 2α + 1/2
- 1/2
- cos 2α + 1/2
Отговор: cos 2α + 1/2
2sin(60° + α)sin(60° − α) = cos 2α − cos 120° = cos 2α + 1/2.
Колко е най-малката стойност на y = 2sin(x + 15°)·cos(x − 15°)?
- −1/2
- −1
- −3/2
- 0
Отговор: −1/2
y = sin 2x + sin 30° = sin 2x + 1/2; най-малката стойност е −1 + 1/2 = −1/2.