Сбор и разлика на тригонометрични функции: пресмятания
Формулите за сбор и разлика превръщат сбор в произведение: sin α + sin β = 2sin((α + β)/2)cos((α − β)/2), sin α − sin β = 2cos((α + β)/2)sin((α − β)/2), cos α + cos β = 2cos((α + β)/2)cos((α − β)/2), cos α − cos β = −2sin((α + β)/2)sin((α − β)/2). Те позволяват да се пресмятат изрази с "неудобни" ъгли и да се съкращават дроби.
Какво да запомним
- sin α + sin β = 2sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2).
- cos α − cos β = −2sin((α + β)/2)·sin((α − β)/2).
- Удобно е α + β или α − β да дава "табличен" ъгъл.
- При дроби се търси общ множител в числителя и знаменателя.
Пример
sin 20° + sin 40° = 2sin 30°·cos 10° = cos 10° = sin 80°, затова sin 20° + sin 40° − sin 80° = 0.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Пресметнете sin 105° + sin 15°.
- √2/2
- √3/2
- 1
- √6/2
Отговор: √6/2
sin 105° + sin 15° = 2sin 60°·cos 45° = 2 · (√3/2) · (√2/2) = √6/2.
Пресметнете cos 15° − cos 75°.
- √6/2
- 1/2
- −√2/2
- √2/2
Отговор: √2/2
cos 15° − cos 75° = −2sin 45°·sin(−30°) = 2 · (√2/2) · (1/2) = √2/2.
Запишете като произведение cos 5x + cos x.
- 2cos 3x·cos 2x
- 2sin 3x·sin 2x
- 2cos 6x·cos 4x
- −2sin 3x·sin 2x
Отговор: 2cos 3x·cos 2x
cos 5x + cos x = 2cos((5x + x)/2)·cos((5x − x)/2) = 2cos 3x·cos 2x.
Опростете (sin 7α − sin α)/(cos 7α + cos α).
- tg 4α
- cotg 3α
- tg 3α
- tg α
Отговор: tg 3α
Числител: 2cos 4α·sin 3α; знаменател: 2cos 4α·cos 3α; частното е tg 3α.
Пресметнете sin 20° + sin 40° − sin 80°.
- 1/2
- 0
- √3/2
- 1
Отговор: 0
sin 20° + sin 40° = 2sin 30°·cos 10° = cos 10° = sin 80°.
На какво е равно sin α − sin β?
- 2cos((α + β)/2)·sin((α − β)/2)
- 2sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
- 2cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
- −2sin((α + β)/2)·sin((α − β)/2)
Отговор: 2cos((α + β)/2)·sin((α − β)/2)
Това е формулата за разлика на синуси.
Пресметнете cos 165° + cos 75°.
- √2/2
- −√2/2
- −√6/2
- 1/2
Отговор: −√2/2
cos 165° + cos 75° = 2cos 120°·cos 45° = 2 · (−1/2) · (√2/2) = −√2/2.
Запишете като произведение sin 4x + sin 2x.
- 2cos 3x·sin x
- 2sin 3x·cos x
- 2sin 6x·cos 2x
- 2sin 3x·sin x
Отговор: 2sin 3x·cos x
sin 4x + sin 2x = 2sin((4x + 2x)/2)·cos((4x − 2x)/2) = 2sin 3x·cos x.
Пресметнете (cos 70° + cos 50°)/cos 10°.
- 1/2
- 1
- √3
- 2
Отговор: 1
cos 70° + cos 50° = 2cos 60°·cos 10° = cos 10°.
Пресметнете (sin 40° + sin 20°)/(cos 40° + cos 20°).
- √3
- 1
- √3/3
- √3/2
Отговор: √3/3
Частното е 2sin 30°cos 10°/(2cos 30°cos 10°) = tg 30° = √3/3.