Тангенс и котангенс на обобщен ъгъл: пресмятания
Оста на тангенсите е допирателната към единичната окръжност в точката (1; 0), а оста на котангенсите е допирателната в точката (0; 1). Правата през началото и края на ъгъла α пресича оста на тангенсите в точка с ордината tg α, а оста на котангенсите в точка с абсциса cotg α. Затова tg α и cotg α имат период 180°: ъглите α и α + 180° дават една и съща права. Тангенсът и котангенсът са положителни в I и III квадрант и отрицателни във II и IV.
Какво да запомним
- tg(α + 180°) = tg α, cotg(α + 180°) = cotg α.
- tg(−α) = −tg α, cotg(−α) = −cotg α.
- tg α · tg(90° − α) = 1 за 0° < α < 90°.
- tg не е дефиниран за α = 90° + k·180°, cotg за α = k·180°.
Пример
tg 225° = tg(180° + 45°) = tg 45° = 1, а cotg 315° = cotg(360° − 45°) = −cotg 45° = −1; сборът им е 0.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Ъгълът α е от IV квадрант и tg α = −1. Колко е α, ако 0° ≤ α < 360°?
- 135°
- 315°
- 225°
- 45°
Отговор: 315°
tg α = −1 при α = 135° и α = 315°; в IV квадрант е 315°.
Пресметнете tg 120°.
- √3
- −√3
- −√3/3
- √3/3
Отговор: −√3
tg 120° = tg(180° − 60°) = −tg 60° = −√3.
Пресметнете cotg 210°.
- −√3
- √3/3
- √3
- −√3/3
Отговор: √3
cotg 210° = cotg(180° + 30°) = cotg 30° = √3.
Пресметнете tg 225° + cotg 315°.
- 2
- −2
- 0
- 1
Отговор: 0
tg 225° = tg 45° = 1; cotg 315° = −cotg 45° = −1; сборът е 0.
Колко решения има уравнението tg x = 2 в интервала [0°; 720°)?
- 2
- 1
- 8
- 4
Отговор: 4
tg има период 180°, а в [0°; 720°) се съдържат 4 периода: по едно решение във всеки.
Какъв е знакът на tg α, ако краят на ъгъла α е в III квадрант?
- Отрицателен
- Положителен
- Нула
- Не е дефиниран
Отговор: Положителен
В III квадрант sin α < 0 и cos α < 0, затова tg α = sin α/cos α > 0.
Пресметнете cotg 135°.
- −1
- 1
- √3
- −√3
Отговор: −1
cotg 135° = cotg(180° − 45°) = −cotg 45° = −1.
Пресметнете tg(−60°).
- √3
- −√3/3
- −1/2
- −√3
Отговор: −√3
Тангенсът е нечетна функция: tg(−60°) = −tg 60° = −√3.
За кой от ъглите правата през началото и края му не пресича оста на котангенсите?
- 90°
- 180°
- 45°
- 270°
Отговор: 180°
При 180° правата е абсцисната ос, успоредна на оста на котангенсите; cotg 180° не е дефиниран.
Пресметнете tg 1° · tg 2° · tg 3° · ... · tg 89°.
- 1
- 0
- 89
- √3
Отговор: 1
Множителите се групират по двойки tg α · tg(90° − α) = 1, а средният е tg 45° = 1.