ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 12 клас · урок 3 от 5

Ирационални неравенства от вида √f(x) > g(x)

При неравенство √f(x) > g(x) разглеждаме два случая според знака на g(x). Ако g(x) g2(x). Отговорът е обединение на решенията от двата случая.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Случай 1: g(x) < 0 и f(x) ≥ 0
  • Случай 2: g(x) ≥ 0 и f(x) > g2(x)
  • Отговорът е обединение на двата случая
  • √f(x) > отрицателно число е вярно за всички допустими x

Пример

√(x + 3) > −1 е вярно за всяко x с x + 3 ≥ 0, т.е. x ∈ [−3; +∞).

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Решете неравенството √x > 2.
    • x ∈ (2; +∞)
    • x ∈ [0; 4)
    • x ∈ (4; +∞)
    • x ∈ (−∞; −4) ∪ (4; +∞)

    Отговор: x ∈ (4; +∞)

    Двете страни са неотрицателни, повдигаме на квадрат: x > 4.

  2. Решете неравенството √(x + 3) > −1.
    • x ∈ (−2; +∞)
    • x ∈ [−3; +∞)
    • няма решение
    • x ∈ (−4; +∞)

    Отговор: x ∈ [−3; +∞)

    Коренът е неотрицателен, затова неравенството е вярно за всяко x ≥ −3.

  3. Решете неравенството √(x + 7) > x + 1.
    • x ∈ (−3; 2)
    • x ∈ [−7; 2)
    • x ∈ [−1; 2)
    • x ∈ [−7; −3) ∪ (2; +∞)

    Отговор: x ∈ [−7; 2)

    При −7 ≤ x (x + 1)2, т.е. −3 < x < 2. Обединението е [−7; 2).

  4. Решете неравенството √(x2 − 5) > 2.
    • x ∈ (3; +∞)
    • x ∈ (−3; 3)
    • x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)
    • x ∈ (−∞; −√5] ∪ [√5; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)

    x2 − 5 > 4, т.е. x2 > 9.

  5. Решете неравенството √(2x + 6) > x − 1.
    • x ∈ (−1; 5)
    • x ∈ [−3; 5)
    • x ∈ [1; 5)
    • x ∈ [−3; −1) ∪ (5; +∞)

    Отговор: x ∈ [−3; 5)

    При −3 ≤ x (x − 1)2, т.е. x2 − 4x − 5 < 0, −1 < x < 5. Обединението е [−3; 5).

  6. Решете неравенството √x ≥ 3.
    • x ∈ (9; +∞)
    • x ∈ [9; +∞)
    • x ∈ [3; +∞)
    • x ∈ [0; 9]

    Отговор: x ∈ [9; +∞)

    Двете страни са неотрицателни, повдигаме на квадрат: x ≥ 9.

  7. Решете неравенството √(x − 2) > 0.
    • x ∈ [2; +∞)
    • x ∈ (0; +∞)
    • x е всяко реално число
    • x ∈ (2; +∞)

    Отговор: x ∈ (2; +∞)

    Коренът е положителен, когато подкоренният израз е положителен: x − 2 > 0.

  8. Решете неравенството √(x + 5) > x − 1.
    • x ∈ (−1; 4)
    • x ∈ [1; 4)
    • x ∈ [−5; 1)
    • x ∈ [−5; 4)

    Отговор: x ∈ [−5; 4)

    При −5 ≤ x (x − 1)2, x2 − 3x − 4 < 0, т.е. 1 ≤ x < 4.

  9. Решете неравенството √(4 − x) > x − 2.
    • x ∈ [2; 3)
    • x ∈ (0; 3)
    • x ∈ (−∞; 3)
    • x ∈ (−∞; 4]

    Отговор: x ∈ (−∞; 3)

    При x (x − 2)2, x2 − 3x < 0, т.е. 2 ≤ x < 3.

  10. Решете неравенството √(x2 − 1) > x − 1.
    • x ∈ (−∞; −1] ∪ (1; +∞)
    • x ∈ (1; +∞)
    • x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞)
    • x ∈ (−∞; −1)

    Отговор: x ∈ (−∞; −1] ∪ (1; +∞)

    Дефиниционно множество: x ≤ −1 или x ≥ 1. При x ≤ −1 дясната страна е отрицателна. При x ≥ 1: x2 − 1 > x2 − 2x + 1, т.е. x > 1.

  11. Решете неравенството √x > 1.
    • x ∈ (1; +∞)
    • x ∈ [0; 1)
    • x ∈ [1; +∞)
    • x ∈ (0; +∞)

    Отговор: x ∈ (1; +∞)

    Двете страни са неотрицателни, повдигаме на квадрат: x > 1.

  12. Решете неравенството √(5 − x) > 2.
    • x ∈ (−∞; 1)
    • x ∈ (1; 5]
    • x ∈ (−∞; 5]
    • x ∈ (1; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; 1)

    Повдигаме на квадрат: 5 − x > 4, т.е. x < 1. При тези x коренът е дефиниран.

  13. Решете неравенството √(x + 3) > x + 1.
    • x ∈ [−1; 1)
    • x ∈ (−2; 1)
    • x ∈ [−3; −1)
    • x ∈ [−3; 1)

    Отговор: x ∈ [−3; 1)

    При x + 1 x2 + 2x + 1 ⇔ x ∈ (−2; 1), т.е. [−1; 1). Обединението е [−3; 1).

  14. Кое е най-голямото цяло решение на неравенството √(x + 10) > x − 2?
    • 5
    • 6
    • 4
    • 7

    Отговор: 5

    При x ≥ 2: x + 10 > x2 − 4x + 4 ⇔ x2 − 5x − 6 < 0 ⇔ −1 < x < 6. Решенията са [−10; 6), най-голямото цяло е 5.

  15. Решете неравенството √(x2 − 3x) > x − 1.
    • x ∈ (−∞; 0] ∪ [3; +∞)
    • x ∈ [3; +∞)
    • x ∈ (−∞; 0]
    • x ∈ (−∞; −1)

    Отговор: x ∈ (−∞; 0]

    Допустими: x ≤ 0 или x ≥ 3. При x 2 − 3x > x2 − 2x + 1 ⇔ x < −1, невъзможно. Отговор: x ≤ 0.