ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 12 клас · урок 4 от 5

Основни показателни неравенства

За да решим показателно неравенство, записваме двете страни като степени с една и съща основа a. Ако a > 1, функцията ax е растяща и знакът на неравенството между показателите се запазва. Ако 0 2x и ax полагаме t = ax > 0 и решаваме квадратно неравенство.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • При a > 1: af(x) g(x) ⇔ f(x) < g(x)
  • При 0 f(x) g(x) ⇔ f(x) > g(x)
  • ax > 0 за всяко x
  • Полагане t = ax, t > 0

Пример

(1/2)x ≥ 4 = (1/2)−2. Основата е по-малка от 1, затова x ≤ −2.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Решете неравенството 3x < 9.
    • x > 2
    • x < 2
    • x < 3
    • x < 9

    Отговор: x < 2

    3x 2, а основата е по-голяма от 1: x < 2.

  2. Решете неравенството (1/2)x ≥ 4.
    • x ≥ −2
    • x ≤ 2
    • x ≤ −2
    • x ≥ 2

    Отговор: x ≤ −2

    (1/2)x ≥ (1/2)−2, а основата е по-малка от 1, затова знакът се обръща: x ≤ −2.

  3. Решете неравенството 2x2 − 3x < 1/4.
    • x ∈ (1; 2)
    • x ∈ (−∞; 1) ∪ (2; +∞)
    • x ∈ (−2; −1)
    • x ∈ [1; 2]

    Отговор: x ∈ (1; 2)

    x2 − 3x 2 − 3x + 2 < 0, 1 < x < 2.

  4. Решете неравенството 4x − 5 · 2x + 4 ≤ 0.
    • x ∈ [1; 4]
    • x ∈ (−∞; 0] ∪ [2; +∞)
    • x ∈ (0; 2)
    • x ∈ [0; 2]

    Отговор: x ∈ [0; 2]

    С 2x = t: t2 − 5t + 4 ≤ 0, 1 ≤ t ≤ 4, т.е. 0 ≤ x ≤ 2.

  5. Решете неравенството 0,2x − 1 > 25.
    • x > −1
    • x < 3
    • x < −1
    • x > 3

    Отговор: x < −1

    0,2x − 1 = 51 − x > 52, затова 1 − x > 2, x < −1.

  6. Решете неравенството 2x ≥ 1.
    • x ≥ 0
    • x ≥ 1
    • x > 0
    • x ≤ 0

    Отговор: x ≥ 0

    1 = 20, а функцията с основа 2 е растяща, затова x ≥ 0.

  7. Решете неравенството 5x − 2 < 125.
    • x < 5
    • x < 3
    • x > 5
    • x < 1

    Отговор: x < 5

    125 = 53, затова x − 2 < 3 и x < 5.

  8. Решете неравенството 0,52x − 1 ≤ 1/8.
    • x ≤ 2
    • x ≥ 1
    • x ≤ 1
    • x ≥ 2

    Отговор: x ≥ 2

    1/8 = 0,53, а основата е между 0 и 1, затова знакът се обръща: 2x − 1 ≥ 3, x ≥ 2.

  9. Решете неравенството 3x + 3x + 1 > 36.
    • x > 2
    • x > 1
    • x > 3
    • x < 2

    Отговор: x > 2

    3x(1 + 3) > 36, т.е. 3x > 9 и x > 2.

  10. Решете неравенството 9x − 10·3x + 9 < 0.
    • x ∈ (0; 2)
    • x ∈ (1; 9)
    • x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞)
    • x ∈ (0; 1)

    Отговор: x ∈ (0; 2)

    С t = 3x > 0: t2 − 10t + 9 < 0, 1 < t < 9, т.е. 0 < x < 2.

  11. Решете неравенството 2x > 8.
    • x > 4
    • x > 3
    • x < 3
    • x > 2

    Отговор: x > 3

    8 = 23, основата 2 > 1, затова x > 3.

  12. Решете неравенството (1/3)x < 9.
    • x < −2
    • x > −2
    • x > 2
    • x < 2

    Отговор: x > −2

    9 = (1/3)−2. Основата е между 0 и 1, затова знакът се обръща: x > −2.

  13. Решете неравенството 4x ≤ 2x + 3.
    • x ≤ 1
    • x ≥ 3
    • x ≤ 3
    • x ≤ 3/2

    Отговор: x ≤ 3

    4x = 22x, затова 2x ≤ x + 3, т.е. x ≤ 3.

  14. Решете неравенството 9x − 2 · 3x − 3 > 0.
    • x > 3
    • x < 1
    • x ∈ (−1; 1)
    • x > 1

    Отговор: x > 1

    Полагаме t = 3x > 0: t2 − 2t − 3 > 0 ⇔ t 3. Остава 3x > 3, т.е. x > 1.

  15. Решете неравенството (1/4)x2 > (1/4)x + 2.
    • x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
    • x ∈ (−1; 2)
    • x ∈ (−2; 1)
    • x ∈ (2; +∞)

    Отговор: x ∈ (−1; 2)

    Основата 1/4 е по-малка от 1, затова знакът се обръща: x2 2 − x − 2 < 0 ⇔ −1 < x < 2.