Модулни неравенства от вида |ax² + bx + c| > (<) m
Неравенство с модул се свежда до неравенства без модул. При |f(x)| 0) изразът трябва да е между −m и m, т.е. решаваме система от две неравенства. При |f(x)| > m изразът е или по-голям от m, или по-малък от −m, т.е. обединяваме решенията на две неравенства. Когато f(x) е квадратен тричлен, всяко от тях е квадратно неравенство.
Какво да запомним
- |f(x)| < m ⇔ −m < f(x) < m (система)
- |f(x)| > m ⇔ f(x) > m или f(x) < −m (обединение)
- При m m е вярно за всички допустими x
- |x| 0
Пример
|x2 − 3| 2 < 4, откъдето x ∈ (−2; −√2) ∪ (√2; 2).
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете неравенството |x| < 3.
- x ∈ (−∞; 3)
- x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)
- x ∈ [−3; 3]
- x ∈ (−3; 3)
Отговор: x ∈ (−3; 3)
|x| < 3 означава −3 < x < 3.
Решете неравенството |x − 2| ≥ 1.
- x ∈ [1; 3]
- x ∈ [3; +∞)
- x ∈ (−∞; 1] ∪ [3; +∞)
- x ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; 1] ∪ [3; +∞)
x − 2 ≥ 1 или x − 2 ≤ −1, т.е. x ≥ 3 или x ≤ 1.
Решете неравенството |x2 − 3| < 1.
- x ∈ (−2; 2)
- x ∈ (√2; 2)
- x ∈ (−2; −√2) ∪ (√2; 2)
- x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)
Отговор: x ∈ (−2; −√2) ∪ (√2; 2)
−1 2 − 3 2 < 4.
Решете неравенството |x2 − 2x| > 3.
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
- x ∈ (−1; 3)
- x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞)
- x ∈ (3; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
x2 − 2x > 3 дава x 3, а x2 − 2x 2 < −2, няма решение.
Колко цели числа са решения на неравенството |x2 − 5| ≤ 4?
- 6
- 7
- 4
- 5
Отговор: 6
1 ≤ x2 ≤ 9, т.е. 1 ≤ |x| ≤ 3: целите решения са ±1, ±2, ±3.
Решете неравенството |x| > 1.
- x ∈ (−1; 1)
- x ∈ (1; +∞)
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
- x ∈ [−1; 1]
Отговор: x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
Числата на разстояние, по-голямо от 1, от нулата са x 1.
Решете неравенството |x + 1| ≤ 4.
- x ∈ [−5; 3]
- x ∈ [−3; 5]
- x ∈ (−5; 3)
- x ∈ (−∞; 3]
Отговор: x ∈ [−5; 3]
−4 ≤ x + 1 ≤ 4, откъдето −5 ≤ x ≤ 3.
Решете неравенството |2x − 1| < 5.
- x ∈ (−2; 3)
- x ∈ (−3; 2)
- x ∈ (−2; 2)
- x ∈ (−∞; 3)
Отговор: x ∈ (−2; 3)
−5 < 2x − 1 < 5, т.е. −4 < 2x < 6 и −2 < x < 3.
Решете неравенството |x2 − 4x| < 5.
- x ∈ (−5; 1)
- x ∈ (−1; 5)
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (5; +∞)
- x ∈ (0; 4)
Отговор: x ∈ (−1; 5)
x2 − 4x 2 − 4x > −5 е вярно за всяко x (D < 0).
Решете неравенството |x2 − x − 2| ≥ 4.
- x ∈ [−2; 3]
- x ∈ (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
- x ∈ [−1; 2]
- x ∈ (−∞; −2] ∪ [3; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; −2] ∪ [3; +∞)
x2 − x − 2 ≥ 4 дава x ≤ −2 или x ≥ 3, а x2 − x − 2 ≤ −4 няма решение (D < 0).
Кое е решението на неравенството |x| ≤ 5?
- x ∈ (−5; 5)
- x ∈ [−5; 5]
- x ∈ [0; 5]
- x ∈ (−∞; −5] ∪ [5; +∞)
Отговор: x ∈ [−5; 5]
|x| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ x ≤ 5. Неравенството е нестрого, затова краищата влизат.
Решете неравенството |x − 3| > 2.
- x ∈ (1; 5)
- x ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞)
- x ∈ (5; +∞)
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (5; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞)
|x − 3| > 2 ⇔ x − 3 > 2 или x − 3 5 или x < 1.
Решете неравенството |x2 − 1| < 3.
- x ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2)
- x ∈ (−√2; √2)
- x ∈ (−4; 4)
- x ∈ (−2; 2)
Отговор: x ∈ (−2; 2)
−3 2 − 1 2 2 < 4 дава −2 < x < 2.
Решете неравенството |x2 − 5x| ≤ 6.
- x ∈ [−1; 6]
- x ∈ [−1; 2] ∪ [3; 6]
- x ∈ [2; 3]
- x ∈ (−∞; −1] ∪ [6; +∞)
Отговор: x ∈ [−1; 2] ∪ [3; 6]
x2 − 5x ≤ 6 дава x ∈ [−1; 6], а x2 − 5x ≥ −6 дава x ≤ 2 или x ≥ 3. Сечението е [−1; 2] ∪ [3; 6].
Колко цели числа са решения на неравенството |x2 − 4| < 5?
- 4
- 7
- 5
- 9
Отговор: 5
−5 2 − 4 2 < 9, т.е. x ∈ (−3; 3). Целите числа са −2, −1, 0, 1, 2.