ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 12 клас · урок 5 от 5

Основни логаритмични неравенства

При логаритмично неравенство първо определяме допустимите стойности: изразът под логаритъма трябва да е положителен. После записваме дясната страна като логаритъм със същата основа. Ако основата е по-голяма от 1, знакът се запазва, а ако е между 0 и 1, знакът се обръща. Окончателният отговор е сечението с допустимите стойности.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Допустими стойности: f(x) > 0
  • При a > 1: logaf(x) b
  • При 0 af(x) ab
  • Не забравяме да пресечем отговора с допустимите стойности

Пример

log3(2x − 1) < 2 ⇔ 0 < 2x − 1 < 9, т.е. x ∈ (1/2; 5).

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Решете неравенството log2x > 3.
    • x > 6
    • 0 < x < 8
    • x > 8
    • x > 9

    Отговор: x > 8

    log2x > log28, а основата е по-голяма от 1: x > 8.

  2. Решете неравенството lg x ≤ 2.
    • x ∈ (0; 100]
    • x ∈ (−∞; 100]
    • x ∈ [100; +∞)
    • x ∈ (0; 20]

    Отговор: x ∈ (0; 100]

    x > 0 и x ≤ 102 = 100.

  3. Решете неравенството log1/3x > −2.
    • x ∈ (0; 9)
    • x ∈ (9; +∞)
    • x ∈ (−∞; 9)
    • x ∈ (0; 1/9)

    Отговор: x ∈ (0; 9)

    −2 = log1/39, а основата е по-малка от 1, затова 0 < x < 9.

  4. Решете неравенството log3(2x − 1) < 2.
    • x ∈ (−∞; 5)
    • x ∈ (0; 5)
    • x ∈ (5; +∞)
    • x ∈ (1/2; 5)

    Отговор: x ∈ (1/2; 5)

    0 < 2x − 1 < 9, т.е. 1/2 < x < 5.

  5. Решете неравенството lg(x − 2) + lg(x − 5) ≤ 1.
    • x ∈ [0; 7]
    • x ∈ (2; 7]
    • x ∈ (5; +∞)
    • x ∈ (5; 7]

    Отговор: x ∈ (5; 7]

    Допустими са x > 5. (x − 2)(x − 5) ≤ 10, x2 − 7x ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 7. Сечението е (5; 7].

  6. Решете неравенството log3x < 0.
    • x ∈ (−∞; 1)
    • x ∈ (1; +∞)
    • x ∈ (0; 3)
    • x ∈ (0; 1)

    Отговор: x ∈ (0; 1)

    log3x 31 и основата е по-голяма от 1, затова 0 < x < 1.

  7. Решете неравенството log5x ≥ 1.
    • x ∈ (5; +∞)
    • x ∈ (0; 5]
    • x ∈ [5; +∞)
    • x ∈ [1; +∞)

    Отговор: x ∈ [5; +∞)

    1 = log55, а функцията е растяща, затова x ≥ 5.

  8. Решете неравенството log0,5x < 1.
    • x ∈ (0; 0,5)
    • x ∈ (0,5; +∞)
    • x ∈ (2; +∞)
    • x ∈ (0; 2)

    Отговор: x ∈ (0,5; +∞)

    1 = log0,50,5, а функцията е намаляваща, затова x > 0,5.

  9. Решете неравенството log2(x2 − 1) < 3.
    • x ∈ (−3; 3)
    • x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 3)
    • x ∈ (1; 3)
    • x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞)

    Отговор: x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 3)

    0 2 − 1 2 < 9.

  10. Решете неравенството log22x − 3log2x + 2 < 0.
    • x ∈ (1; 2)
    • x ∈ (0; 2) ∪ (4; +∞)
    • x ∈ (2; 4)
    • x ∈ (2; 4]

    Отговор: x ∈ (2; 4)

    С t = log2x: t2 − 3t + 2 < 0, 1 < t < 2, т.е. 2 < x < 4.

  11. Решете неравенството log2x < 2.
    • x ∈ (0; 4)
    • x < 4
    • x ∈ (0; 2)
    • x > 4

    Отговор: x ∈ (0; 4)

    Допустимите стойности са x > 0, а 2 = log24, т.е. 0 < x < 4.

  12. Решете неравенството log1/2x ≥ 3.
    • x ≥ 1/8
    • x ∈ (0; 1/8]
    • x ∈ (0; 8]
    • x ≥ 8

    Отговор: x ∈ (0; 1/8]

    3 = log1/2(1/8). Основата е между 0 и 1, затова 0 < x ≤ 1/8.

  13. Решете неравенството log2(x + 3) ≥ 2.
    • x ∈ [1; +∞)
    • x ∈ (−3; 1]
    • x ∈ [−1; +∞)
    • x ∈ (1; +∞)

    Отговор: x ∈ [1; +∞)

    x + 3 ≥ 4, т.е. x ≥ 1 (тогава и x + 3 > 0).

  14. Решете неравенството log0,5(x − 1) > −1.
    • x ∈ (3; +∞)
    • x ∈ (1; 3)
    • x ∈ (1; 1,5)
    • x < 3

    Отговор: x ∈ (1; 3)

    −1 = log0,52. Основата е по-малка от 1, затова 0 < x − 1 < 2, т.е. 1 < x < 3.

  15. Решете неравенството log3x + log3(x − 8) < 2.
    • x ∈ (−1; 9)
    • x ∈ (0; 9)
    • x ∈ (8; 9)
    • x > 9

    Отговор: x ∈ (8; 9)

    Допустими: x > 8. Тогава x(x − 8) 2 − 8x − 9 8: 8 < x < 9.