ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 11 клас · урок 8 от 11

Формули за половин ъгъл

Формулите за половин ъгъл изразяват функциите на α/2 чрез cos α. Те следват от формулите за cos 2α. Знакът пред корена се определя от квадранта, в който е α/2. С тях пресмятаме точни стойности за ъгли като 15° и 22,5° и понижаваме степента в изрази със sin2 и cos2.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • sin2(α/2) = (1 − cos α)/2.
  • cos2(α/2) = (1 + cos α)/2.
  • tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) = (1 − cos α)/sin α.
  • tg 15° = 2 − √3, tg 22,5° = √2 − 1.

Пример

tg 22,5° = (1 − cos 45°)/sin 45° = (1 − √2/2)/(√2/2) = √2 − 1.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. На какво е равно sin2(α/2)?
    • (1 + cos α)/2
    • 1 − cos α
    • (1 − cos α)/2
    • (1 − sin α)/2

    Отговор: (1 − cos α)/2

    От cos α = 1 − 2sin2(α/2) следва sin2(α/2) = (1 − cos α)/2.

  2. Пресметнете tg 15°.
    • 2 + √3
    • √3 − 1
    • 2 − √3
    • (√3 − 1)/2

    Отговор: 2 − √3

    tg 15° = (1 − cos 30°)/sin 30° = (1 − √3/2)/(1/2) = 2 − √3.

  3. Пресметнете tg 22,5°.
    • √2 + 1
    • 2 − √3
    • √2/2
    • √2 − 1

    Отговор: √2 − 1

    tg(α/2) = (1 − cos α)/sin α, затова tg 22,5° = (1 − √2/2)/(√2/2) = √2 − 1.

  4. Пресметнете cos215°.
    • (2 + √3)/4
    • (2 − √3)/4
    • √3/4
    • (1 + √3)/2

    Отговор: (2 + √3)/4

    cos215° = (1 + cos 30°)/2 = (1 + √3/2)/2 = (2 + √3)/4.

  5. cos α = 1/9 и α е остър ъгъл. Намерете sin(α/2).
    • 1/3
    • √5/3
    • 2/3
    • 4/9

    Отговор: 2/3

    sin2(α/2) = (1 − 1/9)/2 = 4/9, а α/2 е остър, затова sin(α/2) = 2/3.

  6. На какво е равно cos2(α/2)?
    • (1 + cos α)/2
    • (1 − cos α)/2
    • (1 + sin α)/2
    • 1 + cos α

    Отговор: (1 + cos α)/2

    От cos α = 2cos2(α/2) − 1 следва cos2(α/2) = (1 + cos α)/2.

  7. Ъгълът α е в интервала (0°; 180°). В кой интервал е α/2?
    • (90°; 180°)
    • (0°; 90°)
    • (0°; 180°)
    • (180°; 360°)

    Отговор: (0°; 90°)

    Делим неравенствата 0° < α < 180° на 2.

  8. cos α = 1/2. Намерете sin2(α/2).
    • 3/4
    • 1/2
    • 1/4
    • 1/8

    Отговор: 1/4

    sin2(α/2) = (1 − 1/2)/2 = 1/4.

  9. Как се изразява tg(α/2) чрез sin α и cos α?
    • (1 + cos α)/sin α
    • cos α/(1 + sin α)
    • sin α/(1 − cos α)
    • sin α/(1 + cos α)

    Отговор: sin α/(1 + cos α)

    tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) = (1 − cos α)/sin α.

  10. sin α = 4/5 и cos α = 3/5. Намерете tg(α/2).
    • 1/2
    • 2
    • 4/3
    • 1/3

    Отговор: 1/2

    tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) = (4/5) : (8/5) = 1/2.

  11. Опростете (1 − cos α)/(1 + cos α).
    • cotg2(α/2)
    • tg2(α/2)
    • tg α
    • tg(α/2)

    Отговор: tg2(α/2)

    Числителят е 2sin2(α/2), знаменателят е 2cos2(α/2), частното е tg2(α/2).

  12. Пресметнете sin 22,5°.
    • √(2 + √2)/2
    • (√2 − 1)/2
    • √(2 − √2)/2
    • √2/4

    Отговор: √(2 − √2)/2

    sin222,5° = (1 − cos 45°)/2 = (2 − √2)/4, а sin 22,5° > 0.

  13. Опростете √((1 + cos 2α)/2) при 0° < α < 90°.
    • sin α
    • cos 2α
    • |sin α|
    • cos α

    Отговор: cos α

    (1 + cos 2α)/2 = cos2α, а при остър ъгъл cos α > 0.

  14. cos α = 0,6 и 270° < α < 360°. Намерете tg(α/2).
    • 1/2
    • −1/2
    • −2
    • 2

    Отговор: −1/2

    sin α = −0,8, tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) = −0,8 : 1,6 = −1/2.

  15. Пресметнете tg 67,5°.
    • √2 − 1
    • √2 + 1
    • 2 + √3
    • √3

    Отговор: √2 + 1

    tg 67,5° = cotg 22,5° = 1/(√2 − 1) = √2 + 1.