Четност, нечетност и периодичност на тригонометричните функции
Тригонометричните функции имат свойства, които опростяват пресмятанията. Косинусът е четна функция, а синусът, тангенсът и котангенсът са нечетни. Синусът и косинусът са периодични с основен период 2π, а тангенсът и котангенсът с основен период π. Затова стойността за всеки ъгъл може да се сведе до стойност за ъгъл от първия период.
Какво да запомним
- cos(−x) = cos x; sin(−x) = −sin x; tg(−x) = −tg x.
- sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x.
- tg(x + π) = tg x, cotg(x + π) = cotg x.
- y = sin kx и y = cos kx имат основен период 2π/|k|.
Пример
y = sin 3x има основен период 2π/3, а tg(−765°) = −tg 45° = −1.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Коя от функциите е четна?
- y = sin x
- y = tg x
- y = cos x
- y = cotg x
Отговор: y = cos x
cos(−x) = cos x, а другите три функции са нечетни.
Колко е основният период на y = sin 3x?
- 2π/3
- 6π
- π/3
- 2π
Отговор: 2π/3
Периодът на sin kx е 2π/k = 2π/3.
Колко е основният период на функцията y = tg x?
- π
- 2π
- π/2
- 4π
Отговор: π
tg(x + π) = tg x, а по-малък положителен период няма.
Колко е основният период на функцията y = sin x · cos x?
- π
- 2π
- π/2
- 4π
Отговор: π
sin x · cos x = (1/2)sin 2x, а основният период на sin 2x е 2π/2 = π.
Каква е функцията y = tg x по четност?
- четна
- нито четна, нито нечетна
- нечетна
- и четна, и нечетна
Отговор: нечетна
tg(−x) = sin(−x)/cos(−x) = −sin x/cos x = −tg x.
Колко е основният период на функцията y = cos x?
- π
- 2π
- π/2
- 4π
Отговор: 2π
Косинусът е периодичен с основен период 2π.
На какво е равно cos(−x)?
- −cos x
- sin x
- −sin x
- cos x
Отговор: cos x
Косинусът е четна функция: cos(−x) = cos x.
Пресметнете sin(−π/6).
- 1/2
- −1/2
- √3/2
- −√3/2
Отговор: −1/2
Синусът е нечетен: sin(−π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
Пресметнете cos(−7π/3).
- 1/2
- −1/2
- √3/2
- −√3/2
Отговор: 1/2
cos(−7π/3) = cos(7π/3) = cos(π/3 + 2π) = cos(π/3) = 1/2.
Каква е функцията y = x·sin x по четност?
- нечетна
- четна
- нито четна, нито нечетна
- и четна, и нечетна
Отговор: четна
f(−x) = (−x)·sin(−x) = x·sin x = f(x), значи е четна.
Пресметнете tg(−13π/4).
- 1
- −1
- √3
- 0
Отговор: −1
tg(−13π/4) = −tg(13π/4) = −tg(π/4 + 3π) = −tg(π/4) = −1.
Функцията f е нечетна и f(2) = 5. Колко е f(−2)?
- −5
- 5
- 0
- −1/5
Отговор: −5
За нечетна функция f(−x) = −f(x), значи f(−2) = −5.
Кое от числата е период (не непременно основен) на y = sin x?
- π
- 3π
- 6π
- π/2
Отговор: 6π
Периоди на синуса са числата 2kπ, k ≠ 0, а 6π = 3·2π.
Колко е основният период на функцията y = sin 2x + cos 3x?
- π
- 2π/3
- 6π
- 2π
Отговор: 2π
Периодите са π и 2π/3. Най-малкото число, кратно и на двете, е 2π.
При коя стойност на a функцията y = x2 + a·sin x е четна?
- a = 0
- a = 1
- a = −1
- за всяко a
Отговор: a = 0
x2 е четна, a·sin x е нечетна. Сборът е четен само ако a·sin x ≡ 0, т.е. a = 0.