Графики на y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = cotg x
Графиките на y = sin x и y = cos x са вълнообразни криви (синусоиди) с периоди 2π и стойности от −1 до 1. Графиката на косинуса е графиката на синуса, преместена с π/2 наляво. Графиките на y = tg x и y = cotg x се състоят от отделни клонове с период π и имат вертикални асимптоти там, където функцията не е дефинирана. От графиките четем нули, знаци, монотонност и най-голяма и най-малка стойност.
Какво да запомним
- sin x и cos x приемат стойности от −1 до 1.
- Нули: sin x = 0 при x = kπ; cos x = 0 при x = π/2 + kπ.
- y = cos x е намаляваща в [0; π]; y = sin x е растяща в [−π/2; π/2].
- y = tg x има асимптоти x = π/2 + kπ, а y = cotg x има асимптоти x = kπ.
Пример
y = 2cos x − 1 приема стойности от 2·(−1) − 1 = −3 до 2·1 − 1 = 1.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Кое е множеството от стойности на y = 2cos x − 1?
- [−1; 1]
- [−2; 2]
- [−3; 3]
- [−3; 1]
Отговор: [−3; 1]
−1 ≤ cos x ≤ 1, затова −2 − 1 ≤ 2cos x − 1 ≤ 2 − 1.
Колко нули има функцията y = sin x в интервала [0; 3π]?
- 3
- 4
- 2
- 6
Отговор: 4
sin x = 0 при x = kπ: 0, π, 2π и 3π.
Кое е най-голямото от числата sin 1, sin 2, sin 3 и sin 4 (ъглите са в радиани)?
- sin 1
- sin 2
- sin 3
- sin 4
Отговор: sin 2
sin 2 = sin(π − 2) ≈ sin 1,14, а 1,14 е по-близо до π/2 от 1. sin 3 е малко положително, а sin 4 < 0.
Кое е множеството от стойности на функцията y = sin x?
- (−∞; +∞)
- [−1; 1]
- [0; 1]
- [−π; π]
Отговор: [−1; 1]
За всяко x е вярно, че −1 ≤ sin x ≤ 1, и всички тези стойности се достигат.
В кой от интервалите функцията y = cos x е намаляваща?
- [0; π]
- [−π; 0]
- [π/2; 3π/2]
- [−π/2; π/2]
Отговор: [0; π]
От x = 0 до x = π стойността на cos x намалява от 1 до −1.
Колко общи точки имат графиките на y = sin x и y = cos x в интервала [0; 2π]?
- 1
- 4
- 3
- 2
Отговор: 2
sin x = cos x ⇔ tg x = 1, а в [0; 2π] решенията са x = π/4 и x = 5π/4.
Колко е най-голямата стойност на функцията y = cos x?
- 0
- 1
- 2
- π
Отговор: 1
Стойностите на косинуса са от −1 до 1, най-голямата е 1.
Коя функция има вертикални асимптоти x = π/2 + kπ?
- y = sin x
- y = cos x
- y = tg x
- y = cotg x
Отговор: y = tg x
tg x не е дефиниран при x = π/2 + kπ и там графиката има асимптоти.
В коя точка графиката на y = cos x пресича оста Oy?
- (0; 0)
- (1; 0)
- (0; −1)
- (0; 1)
Отговор: (0; 1)
При x = 0 имаме cos 0 = 1.
С колко наляво трябва да се премести графиката на y = sin x, за да се получи графиката на y = cos x?
- π
- π/2
- 2π
- π/4
Отговор: π/2
cos x = sin(x + π/2), затова преместването е с π/2 наляво.
Кои са нулите на функцията y = cos x?
- x = kπ
- x = 2kπ
- x = π/2 + kπ
- x = π + 2kπ
Отговор: x = π/2 + kπ
Графиката на косинуса пресича Ox при x = π/2 + kπ.
Каква е функцията y = tg x в интервала (−π/2; π/2)?
- растяща
- намаляваща
- постоянна
- първо расте, после намалява
Отговор: растяща
Клонът на тангенса между две съседни асимптоти е растящ.
Колко общи точки има графиката на y = cos x с правата y = 1 в интервала [0; 4π]?
- 2
- 3
- 4
- 1
Отговор: 3
cos x = 1 при x = 0, 2π и 4π.
Колко е най-голямата стойност на y = sin2x − sin x?
- 0
- 2
- 1/4
- 1
Отговор: 2
При t = sin x ∈ [−1; 1] функцията t2 − t е най-голяма в края t = −1: 1 + 1 = 2.
Кое е множеството от стойности на y = tg x при x ∈ (−π/4; π/4)?
- (−1; 1)
- [−1; 1]
- (0; 1)
- ℝ
Отговор: (−1; 1)
tg x е растяща, tg(−π/4) = −1 и tg(π/4) = 1, а краищата не се включват.