Формули за тригонометрични функции от сбор и разлика на два ъгъла
Формулите за събиране изразяват тригонометричните функции на сбор или разлика на два ъгъла чрез функциите на самите ъгли. С тях пресмятаме точни стойности за ъгли като 15°, 75° и 105°, като ги представяме чрез 30°, 45° и 60°. Използват се също в обратна посока, за да съберем израз до функция на един ъгъл.
Какво да запомним
- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β.
- cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.
- tg(α ± β) = (tg α ± tg β)/(1 ∓ tg α tg β).
- cos 75° = cos(45° + 30°) = (√6 − √2)/4.
Пример
sin 20° cos 40° + cos 20° sin 40° = sin 60° = √3/2.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Пресметнете cos 75°.
- (√6 − √2)/4
- (√6 + √2)/4
- (√3 − 1)/2
- (√2 − √6)/4
Отговор: (√6 − √2)/4
cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° = (√6 − √2)/4.
Пресметнете sin 20° cos 40° + cos 20° sin 40°.
- 1/2
- √3/2
- sin 20°
- 1
Отговор: √3/2
Това е sin(20° + 40°) = sin 60° = √3/2.
cos α = −3/5 и 90° < α < 180°. Намерете cos(α − 60°).
- (4√3 + 3)/10
- (4√3 − 3)/10
- (3 − 4√3)/10
- (−4√3 − 3)/10
Отговор: (4√3 − 3)/10
sin α = 4/5. cos(α − 60°) = cos α cos 60° + sin α sin 60° = −3/10 + 4√3/10.
На какво е равно sin(α − β)?
- sin α cos β + cos α sin β
- cos α cos β − sin α sin β
- sin α cos β − cos α sin β
- sin α − sin β
Отговор: sin α cos β − cos α sin β
Това е формулата за синус от разлика на два ъгъла.
Пресметнете cos 50°·cos 10° − sin 50°·sin 10°.
- √3/2
- 1/2
- √2/2
- 0
Отговор: 1/2
Изразът е cos(50° + 10°) = cos 60° = 1/2.
tg α = 3. Намерете tg(α + 45°).
- 2
- −2
- 4
- −1/2
Отговор: −2
tg(α + 45°) = (tg α + 1)/(1 − tg α) = 4/(−2) = −2.
На какво е равно cos(α + β)?
- cos α cos β + sin α sin β
- sin α cos β + cos α sin β
- cos α + cos β
- cos α cos β − sin α sin β
Отговор: cos α cos β − sin α sin β
Формулата за косинус от сбор: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
Кое равенство е вярно?
- cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
- sin(α + β) = sin α + sin β
- cos(α − β) = cos α − cos β
- tg(α + β) = tg α + tg β
Отговор: cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
Това е формулата за косинус от разлика. Останалите равенства по принцип не са верни.
Пресметнете sin 75°.
- (√6 − √2)/4
- (√6 + √2)/4
- (√3 + 1)/2
- √2/4
Отговор: (√6 + √2)/4
sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = √6/4 + √2/4.
Пресметнете tg 75°.
- 2 − √3
- √3
- 2 + √3
- 1 + √3
Отговор: 2 + √3
tg(45° + 30°) = (1 + √3/3)/(1 − √3/3) = (3 + √3)/(3 − √3) = 2 + √3.
Опростете sin(α + β) + sin(α − β).
- 2sin α cos β
- 2cos α sin β
- 2sin α
- sin 2α
Отговор: 2sin α cos β
Събираме формулите: членовете cos α sin β се унищожават и остава 2sin α cos β.
sin α = 3/5, cos β = 5/13, α и β са остри ъгли. Намерете sin(α + β).
- 33/65
- 56/65
- 16/65
- 63/65
Отговор: 63/65
cos α = 4/5, sin β = 12/13. sin(α + β) = 3/5·5/13 + 4/5·12/13 = 15/65 + 48/65 = 63/65.
tg α = 1/2 и tg β = 1/3, α и β са остри ъгли. Колко е α + β?
- 30°
- 45°
- 60°
- 90°
Отговор: 45°
tg(α + β) = (1/2 + 1/3)/(1 − 1/6) = 1, а α + β е между 0° и 180°, значи α + β = 45°.
Опростете cos(60° + α) + cos(60° − α).
- 2cos α
- √3cos α
- cos α
- sin α
Отговор: cos α
Сборът е 2cos 60°·cos α = cos α, защото членовете със sin α се унищожават.
Пресметнете tg 20° + tg 25° + tg 20°·tg 25°.
- 0
- √3
- 1
- 2
Отговор: 1
От tg 45° = (tg 20° + tg 25°)/(1 − tg 20° tg 25°) = 1 следва tg 20° + tg 25° = 1 − tg 20° tg 25°.