ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 11 клас · урок 7 от 11

Формули за удвоен ъгъл

Формулите за удвоен ъгъл следват от формулите за сбор, когато двата ъгъла са равни. Те изразяват sin 2α, cos 2α и tg 2α чрез функциите на α. Формулата за cos 2α има три вида, което я прави много удобна. Използват се и в обратна посока, например за да заменим 1 + cos 2α с 2cos2α.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • sin 2α = 2sin α cos α.
  • cos 2α = cos2α − sin2α = 1 − 2sin2α = 2cos2α − 1.
  • tg 2α = 2tg α/(1 − tg2α).
  • 1 + cos 2α = 2cos2α, 1 − cos 2α = 2sin2α.

Пример

Ако tg α = 1/2, то tg 2α = 1/(1 − 1/4) = 4/3.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Коя формула е вярна за cos 2α?
    • 1 − 2cos2α
    • 2sin2α − 1
    • 1 + 2sin2α
    • 1 − 2sin2α

    Отговор: 1 − 2sin2α

    cos 2α = cos2α − sin2α = 1 − 2sin2α.

  2. tg α = 1/2. Намерете tg 2α.
    • 1
    • 2/3
    • 3/4
    • 4/3

    Отговор: 4/3

    tg 2α = 2tg α/(1 − tg2α) = 1/(3/4) = 4/3.

  3. α е остър ъгъл и cos α = 0,8. Намерете cos 2α.
    • 0,96
    • 0,6
    • 0,36
    • 0,28

    Отговор: 0,28

    cos 2α = 2cos2α − 1 = 2·0,64 − 1 = 0,28.

  4. Пресметнете 2sin 15°·cos 15° + cos215° − sin215°.
    • 1
    • √3
    • (1 + √3)/2
    • (√3 − 1)/2

    Отговор: (1 + √3)/2

    2sin 15°cos 15° = sin 30° = 1/2 и cos215° − sin215° = cos 30° = √3/2, сборът е (1 + √3)/2.

  5. Пресметнете 1 − 2sin222,5°.
    • 1/2
    • √3/2
    • √2/2
    • 0

    Отговор: √2/2

    1 − 2sin2α = cos 2α, затова изразът е cos 45° = √2/2.

  6. На какво е равно 1 + cos 2α?
    • 2sin2α
    • 2cos2α
    • cos2α
    • 2cos α

    Отговор: 2cos2α

    cos 2α = 2cos2α − 1, затова 1 + cos 2α = 2cos2α.

  7. На какво е равно sin 2α?
    • 2sin α
    • 2sin α cos α
    • sin2α − cos2α
    • sin α cos α

    Отговор: 2sin α cos α

    Формулата за синус от удвоен ъгъл: sin 2α = 2sin α cos α.

  8. Пресметнете cos275° − sin275°.
    • √3/2
    • −√3/2
    • 1/2
    • −1/2

    Отговор: −√3/2

    cos275° − sin275° = cos 150° = −√3/2.

  9. Пресметнете 2sin 75°·cos 75°.
    • √3/2
    • 1
    • 1/2
    • −1/2

    Отговор: 1/2

    2sin 75° cos 75° = sin 150° = 1/2.

  10. sin α = 0,6 и α е остър ъгъл. Намерете sin 2α.
    • 0,48
    • 0,96
    • 1,2
    • 0,28

    Отговор: 0,96

    cos α = 0,8, sin 2α = 2·0,6·0,8 = 0,96.

  11. Опростете (sin α + cos α)2 − 1.
    • 0
    • cos 2α
    • sin 2α
    • 2sin α

    Отговор: sin 2α

    (sin α + cos α)2 = 1 + 2sin α cos α = 1 + sin 2α.

  12. cos 2α = 7/25 и α е остър ъгъл. Намерете sin α.
    • 3/5
    • 4/5
    • 7/25
    • 9/25

    Отговор: 3/5

    1 − 2sin2α = 7/25, sin2α = 9/25, sin α = 3/5.

  13. sin α = −4/5 и 180° < α < 270°. Намерете sin 2α.
    • −24/25
    • 24/25
    • 7/25
    • −7/25

    Отговор: 24/25

    В III квадрант cos α = −3/5, sin 2α = 2·(−4/5)·(−3/5) = 24/25.

  14. Пресметнете cos 36°·cos 72°.
    • 1/2
    • 1/8
    • √5/4
    • 1/4

    Отговор: 1/4

    Умножаваме и делим на sin 36°: sin 36° cos 36° cos 72° = ½sin 72° cos 72° = ¼sin 144° = ¼sin 36°.

  15. tg α = 2. Пресметнете cos 2α.
    • −3/5
    • 3/5
    • 4/5
    • −4/5

    Отговор: −3/5

    cos 2α = (1 − tg2α)/(1 + tg2α) = (1 − 4)/5 = −3/5.