Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции
Формулите за сбор и разлика на тригонометрични функции превръщат сбор в произведение. Това е полезно при опростяване на дроби, при решаване на уравнения и при пресмятане на изрази като sin 105° − sin 15°. Аргументите в произведението са полусборът и полуразликата на дадените ъгли.
Какво да запомним
- sin α + sin β = 2sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2).
- sin α − sin β = 2cos((α + β)/2)·sin((α − β)/2).
- cos α + cos β = 2cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2).
- cos α − cos β = −2sin((α + β)/2)·sin((α − β)/2).
Пример
sin 105° − sin 15° = 2cos 60°·sin 45° = 2·(1/2)·(√2/2) = √2/2.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Пресметнете sin 105° − sin 15°.
- √2/2
- √6/2
- 1/2
- √3/2
Отговор: √2/2
sin 105° − sin 15° = 2cos 60° sin 45° = 2 · 1/2 · √2/2 = √2/2.
Пресметнете cos 75° + cos 15°.
- √2/2
- √3/2
- √6/2
- 1
Отговор: √6/2
cos 75° + cos 15° = 2cos 45°·cos 30° = 2·(√2/2)·(√3/2) = √6/2.
Опростете (cos α − cos 3α)/(sin 3α − sin α).
- cotg 2α
- tg α
- −tg 2α
- tg 2α
Отговор: tg 2α
Числителят е 2sin 2α·sin α, а знаменателят е 2cos 2α·sin α, затова частното е tg 2α.
Коя формула е вярна за sin α + sin β?
- 2sin((α + β)/2)·sin((α − β)/2)
- 2cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
- 2cos((α + β)/2)·sin((α − β)/2)
- 2sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
Отговор: 2sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
Сборът на синуси е два пъти синус от полусбора по косинус от полуразликата.
Пресметнете cos 105° − cos 15°.
- √6/2
- −√6/2
- −√2/2
- 0
Отговор: −√6/2
cos 105° − cos 15° = −2sin 60°·sin 45° = −2·(√3/2)·(√2/2) = −√6/2.
На какво е равно cos α + cos β?
- 2sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
- 2cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
- −2sin((α + β)/2)·sin((α − β)/2)
- cos(α + β)
Отговор: 2cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
Сборът на косинуси е два пъти косинус от полусбора по косинус от полуразликата.
Какво преобразуване правят формулите за сбор и разлика на тригонометрични функции?
- сбор в произведение
- произведение в сбор
- понижаване на степента
- удвояване на ъгъла
Отговор: сбор в произведение
Те записват sin α ± sin β и cos α ± cos β като произведение.
Пресметнете sin 50° + sin 10°.
- sin 60°
- sin 20°
- cos 20°
- 2cos 20°
Отговор: cos 20°
sin 50° + sin 10° = 2sin 30°·cos 20° = cos 20°.
Запишете като произведение sin 3x − sin x.
- 2cos 2x·sin x
- 2sin 2x·cos x
- 2sin x·sin 2x
- sin 2x
Отговор: 2cos 2x·sin x
sin 3x − sin x = 2cos((3x + x)/2)·sin((3x − x)/2) = 2cos 2x·sin x.
Опростете (sin 5α − sin 3α)/(cos 5α + cos 3α).
- tg α
- tg 4α
- cotg α
- tg 2α
Отговор: tg α
Числителят е 2cos 4α·sin α, знаменателят е 2cos 4α·cos α, частното е tg α.
Пресметнете sin 80° − sin 20°.
- sin 60°
- cos 50°
- cos 40°
- 2sin 30°
Отговор: cos 50°
sin 80° − sin 20° = 2cos 50°·sin 30° = cos 50°.
Запишете като произведение sin α + cos α.
- 2cos(α − 45°)
- √2sin(α − 45°)
- √2cos(α − 45°)
- cos 2α
Отговор: √2cos(α − 45°)
sin α + sin(90° − α) = 2sin 45°·cos(α − 45°) = √2cos(α − 45°).
Пресметнете cos 20° + cos 100° + cos 140°.
- 1
- 1/2
- −1/2
- 0
Отговор: 0
cos 100° + cos 140° = 2cos 120°·cos 20° = −cos 20°, затова сборът е 0.
Опростете (sin 2α + sin 4α + sin 6α)/(cos 2α + cos 4α + cos 6α).
- tg 4α
- tg 2α
- tg 6α
- cotg 4α
Отговор: tg 4α
sin 2α + sin 6α = 2sin 4α cos 2α и cos 2α + cos 6α = 2cos 4α cos 2α. Изнасяме sin 4α и cos 4α и съкращаваме.
Пресметнете cos 36° − cos 72°.
- √5/4
- 1/2
- 1/4
- 1
Отговор: 1/2
cos 36° − cos 72° = 2sin 54° sin 18° = 2cos 36° sin 18°. Умножаваме и делим на cos 18°: получаваме ½sin 72°/cos 18° = 1/2.