Обобщен ъгъл. Радиан. Тригонометрични функции на обобщен ъгъл
Обобщеният ъгъл се получава при въртене на лъч около началото и може да бъде по-голям от 360° или отрицателен (при въртене по часовниковата стрелка). Освен в градуси, ъглите се измерват и в радиани: 1 радиан е централният ъгъл, който отговаря на дъга с дължина, равна на радиуса. Синусът и косинусът на обобщен ъгъл са ординатата и абсцисата на точка от единичната окръжност.
Какво да запомним
- 180° = π радиана; αрад = α°·π/180.
- Ъглите α и α + k·360° имат еднакви тригонометрични функции.
- Дължина на дъга: l = α·r (α в радиани).
- Знаци: в I квадрант всички функции са положителни, във II само sin, в III tg и cotg, в IV само cos.
Пример
sin 750° = sin(750° − 720°) = sin 30° = 1/2.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Колко радиана е ъгъл 60°?
- π/6
- 3π
- π/3
- π/2
Отговор: π/3
60° = 60 · π/180 = π/3.
Колко градуса е ъгъл 5π/6 радиана?
- 300°
- 120°
- 105°
- 150°
Отговор: 150°
5π/6 · 180°/π = 150°.
В кой квадрант е краят на ъгъл 4 радиана?
- II
- III
- IV
- I
Отговор: III
π ≈ 3,14 < 4 < 3π/2 ≈ 4,71, затова ъгълът е в III квадрант.
Пресметнете cos 300°.
- 1/2
- −1/2
- √3/2
- −√3/2
Отговор: 1/2
cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 1/2.
Пресметнете tg(−765°).
- 1
- 0
- −√3
- −1
Отговор: −1
−765° = −2 · 360° − 45°, затова tg(−765°) = tg(−45°) = −1.
Колко градуса е ъгъл π/4 радиана?
- 90°
- 45°
- 30°
- 60°
Отговор: 45°
π радиана = 180°, затова π/4 = 180° : 4 = 45°.
Колко радиана е ъгъл 270°?
- 2π/3
- 3π/4
- 5π/4
- 3π/2
Отговор: 3π/2
270° = (270/180)·π = 3π/2.
Пресметнете sin 750°.
- 1/2
- √3/2
- −1/2
- 1
Отговор: 1/2
750° = 2·360° + 30°, затова sin 750° = sin 30° = 1/2.
Пресметнете cos(−240°).
- −1/2
- 1/2
- −√3/2
- √3/2
Отговор: −1/2
cos(−240°) = cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2.
Колко е дължината на дъга с централен ъгъл 2 радиана в окръжност с радиус 5 cm?
- 5 cm
- 2,5 cm
- 10π cm
- 10 cm
Отговор: 10 cm
Дължината на дъгата е l = r·α = 5·2 = 10 cm (α в радиани).
Колко радиана е ъгъл 180°?
- π/2
- π
- 2π
- 3π/2
Отговор: π
По определение 180° = π радиана.
Какъв е знакът на sin α, ако краят на ъгъла α е във II квадрант?
- положителен
- отрицателен
- нула
- зависи от α
Отговор: положителен
Във II квадрант ординатата на точката от единичната окръжност е положителна, значи sin α > 0.
Пресметнете sin 135°.
- 1/2
- −√2/2
- √2/2
- −1/2
Отговор: √2/2
sin 135° = sin(180° − 45°) = sin 45° = √2/2.
На колко градуса приблизително е равен 1 радиан?
- 1°
- 3,14°
- 90°
- ≈ 57,3°
Отговор: ≈ 57,3°
1 рад = 180°/π ≈ 57,3°.
Ъгълът −1110° има същите тригонометрични функции като кой ъгъл от интервала [0°; 360°)?
- 330°
- 30°
- 150°
- 210°
Отговор: 330°
−1110° + 4·360° = −1110° + 1440° = 330°.