Математика 7 клас: тренировъчен тест за НВО 1

Рационални числа

1. Пресметнете (−3) · 4 + 5.

   • 17
   • 7
   • −7
   • −17

   Отговор: −7

   Първо умножението: (−3) · 4 = −12. После −12 + 5 = −7.

2. Пресметнете −2⁴ + (−2)³.

   • 8
   • 24
   • −8
   • −24

   Отговор: −24

   −2⁴ означава −(2⁴) = −16, а (−2)³ = −8. Сборът е −16 + (−8) = −24.

3. Пресметнете 1,2 − 3/4 · (−2/3).

   • 0,7
   • 1,7
   • 0,3
   • −1,7

   Отговор: 1,7

   Първо умножението: 3/4 · (−2/3) = −6/12 = −1/2 = −0,5. После 1,2 − (−0,5) = 1,2 + 0,5 = 1,7.

4. Пресметнете |−5| − |3 − 8| + |−2| · 3.

   • 0
   • 16
   • 6
   • −4

   Отговор: 6

   |−5| = 5, |3 − 8| = |−5| = 5, |−2| = 2. Тогава 5 − 5 + 2 · 3 = 0 + 6 = 6.

5. Пресметнете (0,25)⁵ · 4⁶.

   • 16
   • 4
   • 1
   • 1/4

   Отговор: 4

   Записваме 4⁶ = 4⁵ · 4. Тогава (0,25)⁵ · 4⁵ · 4 = (0,25 · 4)⁵ · 4 = 1⁵ · 4 = 4.

Изрази и уравнения

1. Решете уравнението 3x − 7 = 8.

   • 3
   • 1/3
   • 5
   • 15

   Отговор: 5

   Прехвърляме −7 вдясно: 3x = 8 + 7 = 15. Делим на 3: x = 5.

2. Опростете израза (x + 3)² − x².

   • 9
   • 6x + 6
   • 3x + 9
   • 6x + 9

   Отговор: 6x + 9

   (x + 3)² = x² + 6x + 9. Като извадим x², остава 6x + 9.

3. Решете уравнението 2(x − 1) − 3(2 − x) = 7.

   • 5
   • 3
   • 1
   • −15

   Отговор: 3

   Разкриваме скобите: 2x − 2 − 6 + 3x = 7. Получаваме 5x − 8 = 7, 5x = 15, x = 3. Внимание: −3 · (−x) = +3x.

4. Разложете на множители x² − 6x + 9 − y².

   • (x − 3)² − y
   • (x − y − 9)(x + y − 9)
   • (x − 3 − y)(x − 3 + y)
   • (x + 3 − y)(x + 3 + y)

   Отговор: (x − 3 − y)(x − 3 + y)

   Първите три члена са точен квадрат: x² − 6x + 9 = (x − 3)². Тогава (x − 3)² − y² = (x − 3 − y)(x − 3 + y) по формулата за разлика от квадрати.

5. За коя стойност на параметъра a уравнението a(x − 2) = 3x + 1 няма решение?

   • a = −1/2
   • a = −3
   • a = 0
   • a = 3

   Отговор: a = 3

   Разкриваме скобите и групираме: ax − 3x = 2a + 1, т.е. (a − 3)x = 2a + 1. При a = 3 получаваме 0 · x = 7, което няма решение. При всяко друго a има точно един корен.

Проценти и пропорции

1. Колко е 15% от 240?

   • 3,6
   • 36
   • 16
   • 24

   Отговор: 36

   15% = 0,15. Тогава 0,15 · 240 = 36.

2. Цената на маратонки е 80 €. Намаляват я с 20%. Каква е новата цена?

   • 96 €
   • 60 €
   • 16 €
   • 64 €

   Отговор: 64 €

   20% от 80 € са 0,2 · 80 = 16 €. Новата цена е 80 − 16 = 64 €. (Или направо 80 · 0,8 = 64 €.)

3. 5 работници завършват ремонт за 12 дни. За колко дни ще го завършат 6 работници със същата производителност?

   • 8
   • 13
   • 10
   • 14,4

   Отговор: 10

   Броят на работниците и дните са обратно пропорционални: 5 · 12 = 6 · x. Тогава 60 = 6x и x = 10 дни.

4. Цената на стока се увеличава с 20%, а след това новата цена се намалява с 25%. Как се е променила цената спрямо първоначалната?

   • намалила се е с 5%
   • не се е променила
   • намалила се е с 10%
   • увеличила се е с 5%

   Отговор: намалила се е с 10%

   Нека цената е 100. След увеличението става 120. 25% от 120 са 30, затова цената става 90. Това е с 10% по-малко от 100.

5. Сплав от 300 g съдържа 20% мед. Колко грама мед трябва да се добавят, за да стане медта 40% от сплавта?

   • 60 g
   • 120 g
   • 150 g
   • 100 g

   Отговор: 100 g

   Медта в сплавта е 0,2 · 300 = 60 g. След добавяне на x g мед: (60 + x) = 0,4(300 + x). Тогава 60 + x = 120 + 0,4x, 0,6x = 60, x = 100 g. Проверка: 160 от 400 g е 40%.

Геометрия: триъгълници и ъгли

1. В ΔABC ∠A = 50° и ∠B = 65°. Колко градуса е ∠C?

   • 65°
   • 75°
   • 115°
   • 50°

   Отговор: 65°

   Сборът от ъглите в триъгълник е 180°: ∠C = 180° − 50° − 65° = 65°.

2. Външният ъгъл при върха C на ΔABC е 130°, а ∠A = 55°. Колко градуса е ∠B?

   • 75°
   • 125°
   • 50°
   • 55°

   Отговор: 75°

   Външният ъгъл при C е равен на сбора от несъседните вътрешни ъгли: ∠A + ∠B = 130°. Тогава ∠B = 130° − 55° = 75°.

3. Две успоредни прави са пресечени с трета права. Два от получените прилежащи ъгли са такива, че единият е 4 пъти по-голям от другия. Колко градуса е по-малкият?

   • 30°
   • 36°
   • 45°
   • 18°

   Отговор: 36°

   Прилежащите ъгли при успоредни прави имат сбор 180°. Ако по-малкият е x, то x + 4x = 180°, 5x = 180°, x = 36°.

4. В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) ∠A = 30° и хипотенузата AB = 14 cm. Колко е катетът BC?

   • 3,5 cm
   • 7 cm
   • 28 cm
   • 14 cm

   Отговор: 7 cm

   Катетът BC лежи срещу ъгъла от 30°. Катет срещу ъгъл 30° е равен на половината от хипотенузата: BC = 14 : 2 = 7 cm.

5. В равнобедрен ΔABC (AC = BC) ∠C = 40°. Ъглополовящата на ∠A пресича BC в точка L. Колко градуса е ∠ALC?

   • 95°
   • 75°
   • 110°
   • 105°

   Отговор: 105°

   Ъглите при основата са ∠A = ∠B = (180° − 40°) : 2 = 70°. Ъглополовящата дава ∠CAL = 35°. От ΔALC: ∠ALC = 180° − 40° − 35° = 105°.

Вероятности и статистика

1. Хвърля се зар. Каква е вероятността да се падне четно число?

   • 1/2
   • 1/6
   • 1/3
   • 2/3

   Отговор: 1/2

   Четните числа на зара са 2, 4 и 6, т.е. 3 благоприятни от 6 възможни. Вероятността е 3/6 = 1/2.

2. Намерете средното аритметично на числата 4, 7, 9, 12 и 8.

   • 9
   • 8
   • 10
   • 7

   Отговор: 8

   Сборът е 4 + 7 + 9 + 12 + 8 = 40. Числата са 5, затова средното е 40 : 5 = 8.

3. Намерете медианата на данните 3, 8, 1, 9, 5, 7.

   • 7
   • 5
   • 5,5
   • 6

   Отговор: 6

   Подреждаме: 1, 3, 5, 7, 8, 9. Данните са четен брой, затова медианата е средното на двете средни числа: (5 + 7) : 2 = 6. (5,5 е средното аритметично, не медианата.)

4. В кутия има 4 червени, 6 сини и 5 зелени топки. Изтегля се случайно една топка. Каква е вероятността тя да не е синя?

   • 1/3
   • 3/5
   • 4/15
   • 2/5

   Отговор: 3/5

   Всички топки са 4 + 6 + 5 = 15. Топките, които не са сини, са 4 + 5 = 9. Вероятността е 9/15 = 3/5.

5. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът от точките да е 7?

   • 7/36
   • 1/6
   • 1/11
   • 1/12

   Отговор: 1/6

   Възможните двойки са 6 · 6 = 36. Сбор 7 дават (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1), т.е. 6 двойки. Вероятността е 6/36 = 1/6.

Финален въпрос