Математика 7 клас: тренировъчен тест за НВО 2

Изрази и тъждества

1. Намерете сбора на едночлените 3a²b и −5a²b.

   • −15a²b
   • 8a²b
   • −2a⁴b²
   • −2a²b

   Отговор: −2a²b

   Едночлените са подобни (еднаква буквена част a²b). Събираме коефициентите: 3 + (−5) = −2, а буквената част остава: −2a²b.

2. Кой многочлен е равен на (2x − 3)(2x + 3)?

   • 4x² − 9
   • 4x² + 9
   • 4x² − 12x − 9
   • 2x² − 9

   Отговор: 4x² − 9

   Това е разлика от квадрати: (a − b)(a + b) = a² − b², където a = 2x и b = 3. Получаваме (2x)² − 3² = 4x² − 9.

3. Намерете стойността на израза x² − 2x + 1 при x = −3.

   • 16
   • 4
   • −2
   • 10

   Отговор: 16

   Заместваме: (−3)² − 2 · (−3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16. Проверка: изразът е (x − 1)² = (−4)² = 16.

4. Пресметнете рационално 101² − 99².

   • 4
   • 200
   • 40 000
   • 400

   Отговор: 400

   По формулата за разлика от квадрати: (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400.

5. Ако a + b = 7 и ab = 10, колко е a² + b²?

   • 49
   • 29
   • 39
   • 69

   Отговор: 29

   (a + b)² = a² + 2ab + b², затова a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29.

Уравнения и неравенства

1. Решете неравенството 2x − 5 > 3.

   • x > 1
   • x < 4
   • x > −1
   • x > 4

   Отговор: x > 4

   Прибавяме 5 към двете страни: 2x > 8. Делим на положителното число 2 и знакът се запазва: x > 4.

2. Решете уравнението x/3 − x/4 = 2.

   • 24
   • 12
   • 2
   • 8

   Отговор: 24

   Умножаваме двете страни по 12: 4x − 3x = 24, т.е. x = 24. Проверка: 8 − 6 = 2.

3. Кое е най-малкото цяло число, което е решение на неравенството −3x + 2 ≤ 11?

   • −4
   • −2
   • −3
   • 3

   Отговор: −3

   −3x ≤ 9. Делим на −3 и обръщаме знака: x ≥ −3. Най-малкото цяло решение е −3.

4. Решете уравнението |2x − 1| = 5.

   • само x = 3
   • няма решение
   • x = 3 или x = −2
   • x = −3 или x = 2

   Отговор: x = 3 или x = −2

   Изразът под модула е 5 или −5. От 2x − 1 = 5 следва x = 3, а от 2x − 1 = −5 следва x = −2.

5. Колко цели числа са решения едновременно на неравенствата 2x + 1 > −5 и 3 − x ≥ −1?

   • 6
   • 8
   • 7
   • 5

   Отговор: 7

   От първото: 2x > −6, x > −3. От второто: −x ≥ −4, x ≤ 4. Целите числа с −3 < x ≤ 4 са −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, т.е. 7 числа.

Текстови задачи

1. Сборът на две последователни естествени числа е 47. Кое е по-малкото число?

   • 24
   • 21
   • 23
   • 22

   Отговор: 23

   Нека числата са n и n + 1. Тогава 2n + 1 = 47, 2n = 46, n = 23. Числата са 23 и 24.

2. Баща е на 40 години, а синът му е на 12. След колко години бащата ще бъде 3 пъти по-възрастен от сина си?

   • 2
   • 6
   • 4
   • 14

   Отговор: 2

   След x години: 40 + x = 3(12 + x). Тогава 40 + x = 36 + 3x, 4 = 2x, x = 2. Проверка: 42 = 3 · 14.

3. Велосипедист и пешеходец тръгват едновременно от едно място в една и съща посока със скорости 15 km/h и 5 km/h. След колко часа разстоянието между тях ще бъде 25 km?

   • 5 h
   • 1,25 h
   • 1,5 h
   • 2,5 h

   Отговор: 2,5 h

   Всеки час велосипедистът се отдалечава с 15 − 5 = 10 km. За 25 km са нужни 25 : 10 = 2,5 h. (1,25 h би било при движение в противоположни посоки.)

4. Басейн се пълни от първа тръба за 6 h, а от втора за 3 h. За колко часа ще се напълни, ако двете тръби работят едновременно?

   • 2 h
   • 4,5 h
   • 9 h
   • 3 h

   Отговор: 2 h

   За 1 h първата пълни 1/6, а втората 1/3 от басейна. Заедно: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 1/2 от басейна за 1 h. Целият се пълни за 2 h.

5. Ученик прочел книга за три дни. Първия ден прочел 1/3 от книгата, втория ден 3/5 от остатъка, а третия последните 48 страници. Колко страници има книгата?

   • 180
   • 120
   • 150
   • 240

   Отговор: 180

   След първия ден остават 2/3. Втория ден чете 3/5 · 2/3 = 2/5 от книгата. За третия ден остават 1 − 1/3 − 2/5 = 15/15 − 5/15 − 6/15 = 4/15. Тогава 4/15 от книгата са 48 страници и цялата е 48 : 4 · 15 = 180 страници.

Геометрия: лица и обеми

1. Колко е обемът на куб с ръб 4 cm?

   • 64 cm³
   • 48 cm³
   • 16 cm³
   • 96 cm³

   Отговор: 64 cm³

   Обемът на куб е V = a³ = 4 · 4 · 4 = 64 cm³. (96 cm² е повърхнината му.)

2. Колко е лицето на триъгълник с основа 10 cm и височина към нея 7 cm?

   • 24 cm²
   • 17 cm²
   • 35 cm²
   • 70 cm²

   Отговор: 35 cm²

   Лицето на триъгълник е S = a · h_a : 2 = 10 · 7 : 2 = 35 cm².

3. Правоъгълен паралелепипед има измерения 5 cm, 4 cm и 3 cm. Колко е повърхнината му?

   • 120 cm²
   • 47 cm²
   • 94 cm²
   • 60 cm²

   Отговор: 94 cm²

   S = 2(ab + ac + bc) = 2(5 · 4 + 5 · 3 + 4 · 3) = 2(20 + 15 + 12) = 2 · 47 = 94 cm².

4. Колко е лицето на трапец с основи 12 cm и 8 cm и височина 5 cm?

   • 60 cm²
   • 40 cm²
   • 50 cm²
   • 100 cm²

   Отговор: 50 cm²

   S = (a + b) · h : 2 = (12 + 8) · 5 : 2 = 20 · 5 : 2 = 50 cm².

5. Правилна четириъгълна призма има основен ръб 6 cm и обем 288 cm³. Колко е пълната ѝ повърхнина?

   • 264 cm²
   • 228 cm²
   • 300 cm²
   • 192 cm²

   Отговор: 264 cm²

   Основата е квадрат с лице 6 · 6 = 36 cm². Височината е h = 288 : 36 = 8 cm. Околната повърхнина е 4 · 6 · 8 = 192 cm². Пълната е 192 + 2 · 36 = 264 cm².

Вероятности и статистика

1. В клас има 12 момчета и 13 момичета. Избира се случайно един ученик. Каква е вероятността да е момиче?

   • 13/12
   • 12/25
   • 1/2
   • 13/25

   Отговор: 13/25

   Всички ученици са 12 + 13 = 25, а момичетата са 13. Вероятността е 13/25.

2. Коя е модата на данните 3, 5, 5, 2, 7, 5, 2?

   • 5
   • 2
   • 4
   • 7

   Отговор: 5

   Модата е стойността, която се среща най-често. Числото 5 се среща 3 пъти, а 2 се среща 2 пъти.

3. Оценките на ученик по математика са 6, 5, 4, 6, 3, 6, 5, 5. Какъв е средният му успех?

   • 5,25
   • 5,00
   • 4,50
   • 5,50

   Отговор: 5,00

   Сборът е 6 + 5 + 4 + 6 + 3 + 6 + 5 + 5 = 40, а оценките са 8. Средният успех е 40 : 8 = 5,00.

4. Колко различни двуцифрени числа с различни цифри могат да се запишат с цифрите 1, 2, 3 и 4?

   • 12
   • 16
   • 6
   • 24

   Отговор: 12

   За цифрата на десетиците има 4 възможности, а за цифрата на единиците остават 3 (тя трябва да е различна). Общо 4 · 3 = 12 числа.

5. Изтегля се случайно едно от числата 1, 2, 3, ..., 30. Каква е вероятността то да се дели на 3 или на 5?

   • 7/15
   • 1/2
   • 8/15
   • 2/5

   Отговор: 7/15

   На 3 се делят 10 числа, на 5 се делят 6 числа. Числата 15 и 30 се делят и на двете и са преброени два пъти. Благоприятните са 10 + 6 − 2 = 14, а вероятността е 14/30 = 7/15.

Финален въпрос