Математика 7 клас: тренировъчен тест за НВО 4

Цели изрази

1. От коя степен е многочленът 3x⁴ − 2x² + 5?

   • 4
   • 2
   • 6
   • 3

   Отговор: 4

   Степента на многочлен в нормален вид е най-голямата от степените на членовете му. Тук това е 4 (от 3x⁴).

2. Кой многочлен е равен на (3a − 2)(a + 4)?

   • 3a² − 8
   • 3a² + 10a + 8
   • 3a² + 10a − 8
   • 3a² + 14a − 8

   Отговор: 3a² + 10a − 8

   Умножаваме всеки член по всеки: 3a · a + 3a · 4 − 2 · a − 2 · 4 = 3a² + 12a − 2a − 8 = 3a² + 10a − 8.

3. Разложете на множители 2x² − 8.

   • 2(x − 2)²
   • 2(x − 4)(x + 4)
   • (x − 4)(2x + 2)
   • 2(x − 2)(x + 2)

   Отговор: 2(x − 2)(x + 2)

   Изнасяме общия множител 2: 2(x² − 4). После прилагаме разлика от квадрати: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).

4. Ако x − 1/x = 3, колко е x² + 1/x²?

   • 7
   • 11
   • 10
   • 9

   Отговор: 11

   Повдигаме на квадрат: (x − 1/x)² = x² − 2 · x · 1/x + 1/x² = x² − 2 + 1/x² = 9. Тогава x² + 1/x² = 9 + 2 = 11.

5. Коя е най-малката стойност на израза x² − 6x + 14?

   • 14
   • 5
   • 3
   • 0

   Отговор: 5

   Отделяме точен квадрат: x² − 6x + 9 + 5 = (x − 3)² + 5. Квадратът е поне 0, затова изразът е поне 5, а стойност 5 се достига при x = 3.

Уравнения и неравенства

1. Кое от числата е решение на неравенството x + 7 < 3?

   • −5
   • −4
   • 0
   • 4

   Отговор: −5

   x < 3 − 7, т.е. x < −4. От дадените числа само −5 е по-малко от −4. (−4 не е решение, защото неравенството е строго.)

2. Решете уравнението 3(x − 2) = 2x + 1.

   • 3
   • 5
   • −7
   • 7

   Отговор: 7

   3x − 6 = 2x + 1, 3x − 2x = 1 + 6, x = 7. Проверка: 3 · 5 = 15 и 14 + 1 = 15.

3. Решете неравенството (x − 1)/2 − (x + 1)/3 ≥ 1.

   • x ≥ 7
   • x ≥ 11
   • x ≤ 11
   • x ≥ 5

   Отговор: x ≥ 11

   Умножаваме по 6: 3(x − 1) − 2(x + 1) ≥ 6, 3x − 3 − 2x − 2 ≥ 6, x − 5 ≥ 6, x ≥ 11. Внимание: −2(x + 1) = −2x − 2.

4. Решете уравнението |x + 2| = 3x − 6.

   • x = 1
   • x = 4 или x = 1
   • x = 4
   • няма решение

   Отговор: x = 4

   Модулът е неотрицателен, затова 3x − 6 ≥ 0, т.е. x ≥ 2. Тогава x + 2 > 0 и |x + 2| = x + 2. От x + 2 = 3x − 6 получаваме x = 4. Числото 1 (от −x − 2 = 3x − 6) не е решение: |1 + 2| = 3, а 3 · 1 − 6 = −3.

5. Колко цели положителни числа са решения на неравенството 5 − 2x > −9?

   • 8
   • 7
   • 6
   • 5

   Отговор: 6

   −2x > −14. Делим на −2 и обръщаме знака: x < 7. Целите положителни числа, по-малки от 7, са 1, 2, 3, 4, 5, 6, т.е. 6 числа.

Текстови задачи

1. Едно число увеличили 3 пъти, после резултата намалили с 5 и получили 22. Кое е числото?

   • 11
   • 9
   • 27
   • 6

   Отговор: 9

   Записваме 3x − 5 = 22. Тогава 3x = 27 и x = 9.

2. Обиколката на правоъгълник е 36 cm, а дължината му е 2 пъти по-голяма от ширината. Колко е лицето му?

   • 54 cm²
   • 18 cm²
   • 72 cm²
   • 36 cm²

   Отговор: 72 cm²

   Ако ширината е x, дължината е 2x. Обиколката е 2(x + 2x) = 6x = 36, x = 6 cm, дължината е 12 cm. Лицето е 6 · 12 = 72 cm².

3. От два града на разстояние 360 km тръгват едновременно един срещу друг два автомобила със скорости 70 km/h и 50 km/h. След колко часа ще се срещнат?

   • 2 h
   • 18 h
   • 4 h
   • 3 h

   Отговор: 3 h

   Всеки час разстоянието между тях намалява с 70 + 50 = 120 km. Срещат се след 360 : 120 = 3 h. (18 h би било при разликата от скоростите.)

4. В двуцифрено число цифрата на десетиците е с 3 по-голяма от цифрата на единиците, а сборът от цифрите е 11. Кое е числото?

   • 74
   • 65
   • 83
   • 47

   Отговор: 74

   Ако цифрата на единиците е x, на десетиците е x + 3. Тогава x + x + 3 = 11, 2x = 8, x = 4. Числото е 74. (47 има обратния ред на цифрите.)

5. Търговец продал стока за 360 € с печалба 20% от покупната цена. Колко процента щеше да е печалбата, ако я беше продал за 330 €?

   • 15%
   • 5%
   • 10%
   • 8%

   Отговор: 10%

   Продажната цена 360 € е 120% от покупната, затова покупната е 360 : 1,2 = 300 €. При продажба за 330 € печалбата е 30 €, а 30 от 300 е 10%.

Геометрия: фигури и тела

1. Колко ръба има кубът?

   • 8
   • 6
   • 24
   • 12

   Отговор: 12

   Кубът има 4 ръба на горната основа, 4 на долната и 4 околни ръба: общо 12. (8 са върховете, 6 са стените.)

2. Колко е лицето на кръг с радиус 5 cm (π ≈ 3,14)?

   • 15,7 cm²
   • 78,5 cm²
   • 157 cm²
   • 31,4 cm²

   Отговор: 78,5 cm²

   S = πr² ≈ 3,14 · 5 · 5 = 3,14 · 25 = 78,5 cm². (31,4 cm е дължината на окръжността.)

3. Правоъгълен паралелепипед има обем 240 cm³, а основата му е правоъгълник 6 cm на 5 cm. Колко е височината му?

   • 10 cm
   • 7 cm
   • 8 cm
   • 4 cm

   Отговор: 8 cm

   V = S_осн · h. Лицето на основата е 6 · 5 = 30 cm², затова h = 240 : 30 = 8 cm.

4. Колко е лицето на ромб с диагонали 10 cm и 16 cm?

   • 40 cm²
   • 80 cm²
   • 26 cm²
   • 160 cm²

   Отговор: 80 cm²

   Лицето на ромб е половината от произведението на диагоналите: 10 · 16 : 2 = 80 cm².

5. Цилиндричен съд има радиус на основата 2 dm и височина 5 dm. Колко литра събира (π ≈ 3,14)?

   • 62,8 l
   • 20 l
   • 31,4 l
   • 125,6 l

   Отговор: 62,8 l

   V = πr²h ≈ 3,14 · 2 · 2 · 5 = 3,14 · 20 = 62,8 dm³. Тъй като 1 dm³ = 1 l, съдът събира 62,8 l.

Вероятности и статистика

1. Хвърля се зар. Каква е вероятността да се падне число, по-голямо от 4?

   • 1/2
   • 2/3
   • 1/3
   • 1/6

   Отговор: 1/3

   По-големи от 4 са 5 и 6, т.е. 2 благоприятни от 6 възможни. Вероятността е 2/6 = 1/3.

2. Температурите в 5 последователни сутрини са −2°, 3°, 0°, −4° и 3°. Колко е средната температура?

   • 0°
   • 1°
   • −1°
   • 2,4°

   Отговор: 0°

   Сборът е −2 + 3 + 0 + (−4) + 3 = 0. Средната температура е 0 : 5 = 0°.

3. Колко е размахът на данните 12, 7, 19, 4, 15?

   • 19
   • 15
   • 12
   • 11

   Отговор: 15

   Размахът е разликата между най-голямата и най-малката стойност: 19 − 4 = 15.

4. Монета се хвърля два пъти. Каква е вероятността да се падне поне едно ези?

   • 1/4
   • 2/3
   • 1/2
   • 3/4

   Отговор: 3/4

   Възможните изходи са ЕЕ, ЕТ, ТЕ, ТТ (Е е ези, Т е тура). Поне едно ези има в 3 от 4 изхода, затова вероятността е 3/4. (Или 1 − 1/4, където 1/4 е вероятността за ТТ.)

5. В торба има 5 бели и няколко черни топки. Вероятността да се изтегли бяла топка е 1/4. Колко са черните топки?

   • 20
   • 10
   • 16
   • 15

   Отговор: 15

   Ако всички топки са n, то 5/n = 1/4 и n = 20. Черните са 20 − 5 = 15. (20 е броят на всички топки.)

Финален въпрос