Математика 7 клас: тренировъчен тест за НВО 3

Рационални числа и степени

1. Пресметнете (−5) · (−4) : (−2).

   • −40
   • 40
   • 10
   • −10

   Отговор: −10

   (−5) · (−4) = 20 (еднакви знаци дават плюс). После 20 : (−2) = −10 (различни знаци дават минус).

2. Пресметнете 2³ · 2⁵ : 2⁶.

   • 2
   • 16
   • 1/4
   • 4

   Отговор: 4

   При умножение показателите се събират, а при деление се изваждат: 2^{3 + 5 − 6} = 2² = 4.

3. Пресметнете (−2/3)² − 1/3.

   • 1/3
   • 1/9
   • −1/9
   • −7/9

   Отговор: 1/9

   (−2/3)² = 4/9, защото четна степен на отрицателно число е положителна. 4/9 − 1/3 = 4/9 − 3/9 = 1/9.

4. Кое от числата е най-голямо?

   • −2²
   • (−1/2)²
   • (−2)²
   • (−2)³

   Отговор: (−2)²

   (−2)³ = −8, (−2)² = 4, −2² = −4, (−1/2)² = 1/4. Най-голямо е 4, т.е. (−2)².

5. Пресметнете (2¹⁰ + 2⁹) : (2⁸ · 3).

   • 3
   • 4
   • 1/2
   • 2

   Отговор: 2

   Изнасяме общ множител: 2¹⁰ + 2⁹ = 2⁹(2 + 1) = 3 · 2⁹. Тогава 3 · 2⁹ : (3 · 2⁸) = 2.

Уравнения

1. Решете уравнението 5x + 4 = 2x − 8.

   • −3
   • −12
   • 4
   • −4

   Отговор: −4

   Неизвестните вляво, числата вдясно: 5x − 2x = −8 − 4, 3x = −12, x = −4.

2. Решете уравнението (x − 2)/3 = (x + 1)/4.

   • 5
   • 9
   • −11
   • 11

   Отговор: 11

   Умножаваме двете страни по 12: 4(x − 2) = 3(x + 1), 4x − 8 = 3x + 3, x = 11. Проверка: 9/3 = 3 и 12/4 = 3.

3. Решете уравнението (x + 2)² − (x − 1)² = 15.

   • 2
   • −2
   • 4
   • 3

   Отговор: 2

   Разкриваме: (x² + 4x + 4) − (x² − 2x + 1) = 6x + 3. Тогава 6x + 3 = 15, 6x = 12, x = 2.

4. Решете уравнението x(x − 3) = 0.

   • x = 0 или x = 3
   • само x = 3
   • само x = 0
   • x = 0 или x = −3

   Отговор: x = 0 или x = 3

   Произведението е 0, когато поне един множител е 0: x = 0 или x − 3 = 0, т.е. x = 3. Ако разделим на x, губим корена 0.

5. Решете уравнението x² − 4x + 4 = 9.

   • само x = 5
   • x = −5 или x = 1
   • x = 5 или x = −1
   • x = 1 или x = 3

   Отговор: x = 5 или x = −1

   Лявата страна е (x − 2)², затова (x − 2)² − 3² = 0, т.е. (x − 2 − 3)(x − 2 + 3) = 0, (x − 5)(x + 1) = 0. Корените са x = 5 и x = −1.

Проценти и пропорции

1. Две числа са в отношение 3 : 5. Първото е 12. Кое е второто?

   • 20
   • 7,2
   • 15
   • 60

   Отговор: 20

   От 3 : 5 = 12 : x следва 3x = 5 · 12 = 60, x = 20.

2. Числото 30 е 40% от кое число?

   • 120
   • 75
   • 12
   • 70

   Отговор: 75

   40% = 0,4. Търсим x, за което 0,4x = 30. Тогава x = 30 : 0,4 = 75.

3. Картата е в мащаб 1 : 50 000. Разстоянието между две села на картата е 6 cm. Колко е действителното разстояние?

   • 300 m
   • 6 km
   • 3 km
   • 30 km

   Отговор: 3 km

   6 cm · 50 000 = 300 000 cm = 3 000 m = 3 km.

4. Внасят се 2000 € в банка с годишна сложна лихва 5%. Колко евро ще има в сметката след 2 години?

   • 2210 €
   • 2205 €
   • 2200 €
   • 2100 €

   Отговор: 2205 €

   След първата година: 2000 · 1,05 = 2100 €. След втората лихвата се смята върху 2100: 2100 · 1,05 = 2205 €. (2200 € би било при проста лихва.)

5. Цената на стока се увеличава с 25%. С колко процента трябва да се намали новата цена, за да стане отново първоначалната?

   • 15%
   • 25%
   • 80%
   • 20%

   Отговор: 20%

   Нека цената е 100 €. След увеличението е 125 €. Трябва да се намали с 25 €, а 25 от 125 е 25/125 = 1/5 = 20%.

Геометрия: успоредник

1. В успоредника ABCD ∠A = 70°. Колко градуса е ∠B?

   • 140°
   • 110°
   • 20°
   • 70°

   Отговор: 110°

   Съседните ъгли в успоредник имат сбор 180°: ∠B = 180° − 70° = 110°.

2. Обиколката на успоредник е 30 cm, а едната му страна е 9 cm. Колко е другата страна?

   • 21 cm
   • 6 cm
   • 3 cm
   • 12 cm

   Отговор: 6 cm

   Обиколката е 2(a + b) = 30, затова a + b = 15. Тогава b = 15 − 9 = 6 cm.

3. В ΔABC точките M и N са среди съответно на AC и BC, а MN = 7 cm. Колко е AB?

   • 14 cm
   • 7 cm
   • 21 cm
   • 3,5 cm

   Отговор: 14 cm

   MN е средна отсечка в триъгълника. Тя е успоредна на AB и равна на половината от нея, затова AB = 2 · 7 = 14 cm.

4. В правоъгълника ABCD диагоналът AC = 10 cm и ∠BAC = 30°. Колко е страната BC?

   • 20 cm
   • 5 cm
   • 2,5 cm
   • 10 cm

   Отговор: 5 cm

   ΔABC е правоъгълен с ∠B = 90° и хипотенуза AC. Катетът BC лежи срещу ъгъла от 30°, затова BC = AC : 2 = 5 cm.

5. В успоредника ABCD AB = 5 cm и AD = 8 cm. Ъглополовящата на ∠A пресича страната BC в точка M. Колко е MC?

   • 5 cm
   • 3 cm
   • 2,5 cm
   • 4 cm

   Отговор: 3 cm

   ∠BAM = ∠MAD (ъглополовяща), а ∠MAD = ∠AMB като кръстни ъгли (AD ∥ BC). Значи ∠BAM = ∠AMB и ΔABM е равнобедрен: BM = AB = 5 cm. Тъй като BC = AD = 8 cm, MC = 8 − 5 = 3 cm.

Текстови задачи

1. Три еднакви тетрадки и една химикалка струват общо 7 €. Химикалката струва 1 €. Колко струва една тетрадка?

   • 1,50 €
   • 3 €
   • 2 €
   • 2,33 €

   Отговор: 2 €

   Трите тетрадки струват 7 − 1 = 6 €. Една тетрадка струва 6 : 3 = 2 €.

2. Едно число е с 8 по-голямо от друго, а сборът им е 50. Кое е по-голямото число?

   • 25
   • 33
   • 29
   • 21

   Отговор: 29

   Ако по-малкото е x, по-голямото е x + 8. Тогава 2x + 8 = 50, 2x = 42, x = 21, а по-голямото е 29.

3. Автомобил изминава разстояние за 3 h със скорост 80 km/h. За колко часа ще измине същото разстояние със скорост 60 km/h?

   • 2,25 h
   • 4 h
   • 5 h
   • 3,5 h

   Отговор: 4 h

   Разстоянието е 80 · 3 = 240 km. Със скорост 60 km/h времето е 240 : 60 = 4 h.

4. В клас има 30 ученици. Момичетата са с 4 повече от момчетата. Колко са момчетата?

   • 11
   • 15
   • 17
   • 13

   Отговор: 13

   Нека момчетата са x. Момичетата са x + 4 и x + x + 4 = 30, 2x = 26, x = 13.

5. Колко литра вода трябва да се добавят към 12 l 30% разтвор на сол, за да се получи 20% разтвор?

   • 18 l
   • 4 l
   • 6 l
   • 3 l

   Отговор: 6 l

   Солта е 0,3 · 12 = 3,6 l и не се променя. В новия разтвор тя е 20%: 3,6 = 0,2(12 + x), 12 + x = 18, x = 6 l.

Финален въпрос