Математика 7 клас: тренировъчен тест за НВО 9

Цели изрази

1. Намерете сбора на многочлените 2x² − 3x + 1 и x² + 5x − 4.

   • 3x² + 2x − 3
   • 3x² − 8x + 5
   • x² + 2x − 3
   • 3x² + 2x + 5

   Отговор: 3x² + 2x − 3

   Събираме подобните едночлени: (2 + 1)x² + (−3 + 5)x + (1 − 4) = 3x² + 2x − 3.

2. Пресметнете (−2a²b) · (3ab³).

   • −6a²b³
   • 6a³b⁴
   • a³b⁴
   • −6a³b⁴

   Отговор: −6a³b⁴

   Умножаваме коефициентите: −2 · 3 = −6, а степените с равни основи: a² · a = a³, b · b³ = b⁴.

3. Разложете на множители 9x² − 12x + 4.

   • (3x − 2)²
   • (3x + 2)²
   • (9x − 2)²
   • (3x − 2)(3x + 2)

   Отговор: (3x − 2)²

   9x² − 12x + 4 = (3x)² − 2 · 3x · 2 + 2² = (3x − 2)².

4. Пресметнете рационално 2,5² − 2 · 2,5 · 0,5 + 0,5².

   • 2
   • 6,5
   • 16
   • 4

   Отговор: 4

   Изразът е (2,5 − 0,5)² = 2² = 4.

5. За кои стойности на x изразът (x − 3)(x + 5) − (x + 1)² е равен на 0?

   • x = 3
   • x = −5
   • x = −1
   • за нито една стойност

   Отговор: за нито една стойност

   (x − 3)(x + 5) − (x + 1)² = x² + 2x − 15 − x² − 2x − 1 = −16. Изразът е равен на −16 за всяко x.

Уравнения

1. Решете уравнението |x| = 4.

   • x = 4
   • x = −4
   • x = 4 или x = −4
   • няма решение

   Отговор: x = 4 или x = −4

   Модулът е разстоянието до 0. На разстояние 4 от 0 са числата 4 и −4.

2. Решете уравнението |x − 1| = −2.

   • няма решение
   • x = 3
   • x = −1
   • x = 3 или x = −1

   Отговор: няма решение

   Модулът на число никога не е отрицателен, затова уравнението няма решение.

3. Колко решения има уравнението 3(x + 1) = 3x + 3?

   • нито едно
   • безброй много
   • едно, x = 0
   • едно, x = 1

   Отговор: безброй много

   След разкриване на скобите се получава 3x + 3 = 3x + 3, вярно за всяко x.

4. Корените на уравнението (x − 2)(x + 7) = 0 са x₁ и x₂. Колко е x₁ + x₂?

   • 5
   • −5
   • −14
   • 9

   Отговор: −5

   Корените са x₁ = 2 и x₂ = −7, а сборът им е −5.

5. Решете уравнението (2x − 1)² = (x + 4)².

   • x = 5
   • x = 1 или x = −5
   • x = 5 или x = −1
   • x = −1

   Отговор: x = 5 или x = −1

   От a² = b² следва a = b или a = −b: 2x − 1 = x + 4 дава x = 5, а 2x − 1 = −x − 4 дава x = −1.

Страни и ъгли в триъгълник

1. От кои три отсечки може да се построи триъгълник?

   • 2 cm, 3 cm и 5 cm
   • 5 cm, 6 cm и 10 cm
   • 1 cm, 4 cm и 6 cm
   • 3 cm, 4 cm и 8 cm

   Отговор: 5 cm, 6 cm и 10 cm

   Всяка страна трябва да е по-малка от сбора на другите две. Само при 5, 6 и 10 е изпълнено 10 < 5 + 6.

2. В ΔABC ∠A = 50° и ∠B = 60°. Коя е най-голямата страна?

   • BC
   • AB
   • AC
   • всички страни са равни

   Отговор: AB

   ∠C = 70° е най-големият ъгъл, а срещу него лежи страната AB.

3. Две от страните на равнобедрен триъгълник са 4 cm и 9 cm. Колко е обиколката му?

   • 17 cm
   • 17 cm или 22 cm
   • 22 cm
   • 26 cm

   Отговор: 22 cm

   Ако бедрата са 4 cm, то 4 + 4 < 9 и триъгълник няма. Значи бедрата са 9 cm: 9 + 9 + 4 = 22 cm.

4. В ΔABC ∠C = 90°, а CM е медиана към хипотенузата AB = 18 cm. Колко е CM?

   • 18 cm
   • 9 cm
   • 6 cm
   • 4,5 cm

   Отговор: 9 cm

   В правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е равна на половината от нея: 18 : 2 = 9 cm.

5. В ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, а CH е височина. Ако BH = 3 cm, колко е AB?

   • 6 cm
   • 9 cm
   • 12 cm
   • 18 cm

   Отговор: 12 cm

   ∠B = 60°, затова в ΔBCH ∠BCH = 30° и BC = 2 · BH = 6 cm. В ΔABC катетът BC лежи срещу ъгъл 30°, затова AB = 2 · BC = 12 cm.

Вероятности

1. Хвърля се зар. Каква е вероятността да се падне 7?

   • 1/6
   • 0
   • 1/7
   • 1

   Отговор: 0

   Заровете имат стени от 1 до 6, затова събитието е невъзможно и вероятността е 0.

2. В торба има 3 червени и 5 сини топки. Каква е вероятността случайно изтеглена топка да е синя?

   • 3/8
   • 5/3
   • 1/2
   • 5/8

   Отговор: 5/8

   Всички топки са 8, сините са 5: вероятността е 5/8.

3. Избира се случайно едно от числата 1, 2, 3, ..., 50. Каква е вероятността то да е точен квадрат?

   • 3/25
   • 1/7
   • 7/50
   • 1/10

   Отговор: 7/50

   Точните квадрати до 50 са 1, 4, 9, 16, 25, 36 и 49, т.е. 7. Вероятността е 7/50.

4. По колко различни начина могат да се наредят 4 различни книги на рафт?

   • 24
   • 16
   • 12
   • 4

   Отговор: 24

   За първото място има 4 възможности, за второто 3, за третото 2, за последното 1: 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

5. В клас има 30 ученици. 18 изучават английски, 15 изучават немски, а 5 не изучават нито един от двата езика. Колко ученици изучават и двата езика?

   • 3
   • 8
   • 13
   • 10

   Отговор: 8

   Поне един език учат 30 − 5 = 25 ученици. Тогава и двата учат 18 + 15 − 25 = 8.

Ъгли

1. Ъглополовяща разделя ъгъл от 84° на два ъгъла. Колко градуса е всеки от тях?

   • 84°
   • 42°
   • 168°
   • 21°

   Отговор: 42°

   Ъглополовящата разделя ъгъла на два равни ъгъла: 84° : 2 = 42°.

2. Ъгъл е равен на половината от съседния си ъгъл. Колко градуса е той?

   • 90°
   • 120°
   • 45°
   • 60°

   Отговор: 60°

   Ако ъгълът е x, съседният е 2x и x + 2x = 180°, x = 60°.

3. Колко градуса е сборът от външните ъгли на триъгълник, взети по един при всеки връх?

   • 180°
   • 540°
   • 360°
   • 270°

   Отговор: 360°

   Във всеки връх вътрешният и външният ъгъл дават 180°: 3 · 180° − 180° = 360°.

4. В ΔABC външният ъгъл при върха A е 120°, а при върха B е 130°. Колко градуса е ∠C?

   • 110°
   • 50°
   • 70°
   • 60°

   Отговор: 70°

   ∠A = 180° − 120° = 60°, ∠B = 180° − 130° = 50°, затова ∠C = 180° − 60° − 50° = 70°.

5. В ΔABC ∠A = 70°. Ъглополовящите на външните ъгли при върховете B и C се пресичат в точка O. Колко градуса е ∠BOC?

   • 55°
   • 125°
   • 110°
   • 35°

   Отговор: 55°

   ∠OBC + ∠OCB = (180° − ∠B)/2 + (180° − ∠C)/2 = 180° − 110°/2 = 125°. Тогава ∠BOC = 180° − 125° = 55°.

Финален въпрос