Математика 10 клас: тренировъчен тест за НВО 1

Квадратни уравнения и неравенства

1. Кои са корените на уравнението x² − 5x + 6 = 0?

   • 1 и 6
   • −2 и −3
   • −1 и −6
   • 2 и 3

   Отговор: 2 и 3

   D = 25 − 4·6 = 1. x = (5 ± 1)/2, значи x₁ = 2 и x₂ = 3. Проверка: 4 − 10 + 6 = 0 и 9 − 15 + 6 = 0.

2. Кои са решенията на неравенството x² − 4 < 0?

   • x ∈ (−2; 2)
   • x ∈ (−4; 4)
   • x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)
   • x ∈ (0; 2)

   Отговор: x ∈ (−2; 2)

   Корените на x² − 4 = 0 са −2 и 2. Параболата е с клони нагоре, затова е отрицателна между корените: x ∈ (−2; 2).

3. При коя стойност на m уравнението x² − 6x + m = 0 има два равни корена?

   • m = 9
   • m = 36
   • m = −9
   • m = 6

   Отговор: m = 9

   Два равни корена има при D = 0. D = 36 − 4m = 0, значи m = 9. Тогава x² − 6x + 9 = (x − 3)² и коренът е 3.

4. Кои са решенията на неравенството x² − x − 6 ≥ 0?

   • x ∈ [−3; 2]
   • x ∈ [−2; 3]
   • x ∈ (−∞; −3] ∪ [2; +∞)
   • x ∈ (−∞; −2] ∪ [3; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; −2] ∪ [3; +∞)

   1. Корените на x² − x − 6 = 0: D = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5)/2, т.е. −2 и 3.
   2. Клоните са нагоре, изразът е ≥ 0 извън корените и в тях.
   3. x ∈ (−∞; −2] ∪ [3; +∞).

5. Ако x₁ и x₂ са корените на x² − 7x + 3 = 0, на колко е равно x₁² + x₂²?

   • 37
   • 49
   • 43
   • 55

   Отговор: 43

   1. D = 49 − 12 = 37 > 0, корените са реални.
   2. По формулите на Виет x₁ + x₂ = 7 и x₁·x₂ = 3.
   3. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 49 − 6 = 43.

Функции и графики

1. В коя точка графиката на y = 2x − 6 пресича оста Ox?

   • (−3; 0)
   • (−6; 0)
   • (3; 0)
   • (0; −6)

   Отговор: (3; 0)

   На оста Ox y = 0: 2x − 6 = 0, значи x = 3. Точката е (3; 0).

2. Кой е върхът на параболата y = x² − 4x + 1?

   • (2; 1)
   • (4; 1)
   • (2; −3)
   • (−2; 13)

   Отговор: (2; −3)

   Абсцисата на върха е x = −b/(2a) = 4/2 = 2. Ординатата: y(2) = 4 − 8 + 1 = −3. Върхът е (2; −3).

3. Коя от точките лежи на графиката на y = −x² + 3x?

   • B(2; 3)
   • A(1; 2)
   • C(−1; 2)
   • D(3; 9)

   Отговор: A(1; 2)

   Заместваме: y(1) = −1 + 3 = 2, значи A лежи на графиката. y(2) = −4 + 6 = 2 ≠ 3, y(−1) = −1 − 3 = −4 ≠ 2, y(3) = −9 + 9 = 0 ≠ 9.

4. Каква е най-малката стойност на функцията y = 2x² − 8x + 5?

   • −3
   • −11
   • 5
   • 2

   Отговор: −3

   a = 2 > 0, най-малката стойност е във върха. x = 8/4 = 2, y(2) = 8 − 16 + 5 = −3.

5. При коя стойност на b правата y = x + b има точно една обща точка с параболата y = x²?

   • b = 1/4
   • b = −1
   • b = 0
   • b = −1/4

   Отговор: b = −1/4

   1. Общите точки: x² = x + b, т.е. x² − x − b = 0.
   2. Една обща точка има при D = 0: 1 + 4b = 0.
   3. b = −1/4 (тогава допирната точка е при x = 1/2).

Подобни триъгълници

1. ΔA₁B₁C₁ ~ ΔABC с коефициент k = A₁B₁ : AB = 2. Ако AB = 3 cm, колко е A₁B₁?

   • 1,5 cm
   • 9 cm
   • 6 cm
   • 5 cm

   Отговор: 6 cm

   A₁B₁ = k·AB = 2·3 = 6 cm.

2. Два подобни триъгълника имат коефициент на подобие 3. Колко пъти лицето на по-големия е по-голямо от лицето на по-малкия?

   • 3 пъти
   • 9 пъти
   • 27 пъти
   • 6 пъти

   Отговор: 9 пъти

   Отношението на лицата на подобни триъгълници е k² = 3² = 9.

3. В ΔABC точка M е от AB, точка N е от BC и MN ∥ AC. Ако BM = 4 cm, MA = 2 cm и AC = 9 cm, колко е MN?

   • 6 cm
   • 3 cm
   • 4,5 cm
   • 18 cm

   Отговор: 6 cm

   1. От MN ∥ AC следва ΔMBN ~ ΔABC.
   2. BA = 4 + 2 = 6 cm, k = BM : BA = 4 : 6 = 2/3.
   3. MN = (2/3)·9 = 6 cm.

4. В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) височината CH дели хипотенузата на AH = 4 cm и HB = 9 cm. Колко е CH?

   • 6 cm
   • 13 cm
   • 6,5 cm
   • 36 cm

   Отговор: 6 cm

   По метричните зависимости CH² = AH·HB = 4·9 = 36, значи CH = 6 cm.

5. В трапеца ABCD основите са AB = 12 cm и CD = 4 cm, а диагоналите се пресичат в O. Лицето на ΔCOD е 3 cm². Колко е лицето на ΔAOB?

   • 9 cm²
   • 12 cm²
   • 36 cm²
   • 27 cm²

   Отговор: 27 cm²

   1. AB ∥ CD, затова ΔAOB ~ ΔCOD.
   2. k = AB : CD = 12 : 4 = 3.
   3. S_AOB = k²·S_COD = 9·3 = 27 cm².

Вероятности и статистика

1. Хвърля се зар. Каква е вероятността да се падне четно число?

   • 1/3
   • 1/6
   • 2/3
   • 1/2

   Отговор: 1/2

   Четните числа са 2, 4 и 6: 3 благоприятни от 6 възможни. P = 3/6 = 1/2.

2. Колко е средноаритметичното на числата 4, 7, 7, 10, 12?

   • 9
   • 10
   • 8
   • 7

   Отговор: 8

   Сборът е 4 + 7 + 7 + 10 + 12 = 40. Средното е 40 : 5 = 8.

3. Каква е медианата на данните 3, 9, 5, 12, 1, 8?

   • 6,5
   • 6
   • 8
   • 5

   Отговор: 6,5

   1. Подреждаме: 1, 3, 5, 8, 9, 12.
   2. Броят е четен, медианата е средното на двете средни числа.
   3. (5 + 8) : 2 = 6,5.

4. В кутия има 5 бели и 3 черни топки. Изваждат се едновременно 2 топки. Каква е вероятността и двете да са бели?

   • 3/28
   • 5/8
   • 5/14
   • 25/64

   Отговор: 5/14

   1. Всички начини: C(8, 2) = 28.
   2. Благоприятни: C(5, 2) = 10.
   3. P = 10/28 = 5/14.

5. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът от точките да е 8?

   • 5/36
   • 1/6
   • 7/36
   • 1/9

   Отговор: 5/36

   1. Възможните изходи са 6·6 = 36.
   2. Сбор 8: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), т.е. 5 изхода.
   3. P = 5/36.

Прогресии

1. В аритметична прогресия a₁ = 3 и d = 4. Колко е a₅?

   • 19
   • 15
   • 23
   • 20

   Отговор: 19

   a₅ = a₁ + 4d = 3 + 16 = 19.

2. В геометрична прогресия b₁ = 2 и q = 3. Колко е b₄?

   • 24
   • 18
   • 162
   • 54

   Отговор: 54

   b₄ = b₁·q³ = 2·27 = 54.

3. Колко е сборът на първите 10 члена на аритметичната прогресия с a₁ = 1 и d = 2?

   • 19
   • 90
   • 110
   • 100

   Отговор: 100

   1. a₁₀ = 1 + 9·2 = 19.
   2. S₁₀ = (a₁ + a₁₀)·10/2 = 20·5 = 100.

4. В аритметична прогресия a₃ = 10 и a₇ = 22. Колко е a₁₂?

   • 40
   • 34
   • 37
   • 46

   Отговор: 37

   1. a₇ − a₃ = 4d = 12, значи d = 3.
   2. a₁ = a₃ − 2d = 4.
   3. a₁₂ = a₁ + 11d = 4 + 33 = 37.

5. В геометрична прогресия b₂ = 6 и b₅ = 162. Колко е сборът на първите 4 члена?

   • 26
   • 242
   • 54
   • 80

   Отговор: 80

   1. b₅ : b₂ = q³ = 162 : 6 = 27, значи q = 3.
   2. b₁ = 6 : 3 = 2.
   3. Членовете са 2, 6, 18, 54 и сборът е 80.

Финален въпрос