Математика 10 клас: тренировъчен тест за НВО 7

Функции

1. Дадена е функцията f(x) = x² − 3x. Колко е f(−2)?

   • −2
   • 10
   • 2
   • −10

   Отговор: 10

   f(−2) = (−2)² − 3 · (−2) = 4 + 6 = 10.

2. Кой е ъгловият коефициент на правата y = −4x + 7?

   • −4
   • 4
   • 7
   • −7

   Отговор: −4

   При y = kx + n ъгловият коефициент е k, тук k = −4.

3. Кое е дефиниционното множество на функцията y = √(x − 5)?

   • (5; +∞)
   • (−∞; 5]
   • Всички реални числа
   • [5; +∞)

   Отговор: [5; +∞)

   Подкоренната величина трябва да е неотрицателна: x − 5 ≥ 0, т.е. x ≥ 5.

4. В коя точка правата y = 2x − 1 има обща точка с параболата y = x² − 2x + 3?

   • (1; 1)
   • (3; 5)
   • (2; 3)
   • (−2; −5)

   Отговор: (2; 3)

   x² − 2x + 3 = 2x − 1 води до x² − 4x + 4 = 0, т.е. x = 2 и y = 3.

5. За кои стойности на x функцията y = −x² + 6x − 5 приема положителни стойности?

   • x ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞)
   • x ∈ (1; 5)
   • x ∈ [1; 5]
   • x ∈ (−5; −1)

   Отговор: x ∈ (1; 5)

   Нулите са 1 и 5, а клоните на параболата са надолу, затова y > 0 между нулите.

Системи уравнения

1. Кое е решението на системата y = 3x, x + y = 8?

   • (6; 2)
   • (3; 9)
   • (4; 4)
   • (2; 6)

   Отговор: (2; 6)

   Заместваме: x + 3x = 8, x = 2 и y = 6.

2. Кое е решението на системата 3x + 2y = 12, 5x − 2y = 4?

   • (3; 2)
   • (2; −3)
   • (4; 0)
   • (2; 3)

   Отговор: (2; 3)

   Събираме уравненията: 8x = 16, x = 2. Тогава 6 + 2y = 12 и y = 3.

3. При коя стойност на a системата 2x − y = 3, ax − 3y = 5 няма решение?

   • a = −6
   • a = 3
   • a = 2
   • a = 6

   Отговор: a = 6

   Системата няма решение, когато a : 2 = (−3) : (−1) ≠ 5 : 3. Това дава a = 6.

4. Кои са решенията на системата x − y = 2, xy = 15?

   • (5; 3) и (−3; −5)
   • (5; 3)
   • (3; 5) и (−5; −3)
   • (5; 3) и (3; 5)

   Отговор: (5; 3) и (−3; −5)

   x = y + 2 и (y + 2)y = 15, т.е. y² + 2y − 15 = 0, y = 3 или y = −5. Съответно x = 5 или x = −3.

5. Периметърът на правоъгълник е 34 cm, а диагоналът му е 13 cm. Какви са страните му?

   • 5 cm и 12 cm
   • 6 cm и 11 cm
   • 8 cm и 9 cm
   • 7 cm и 10 cm

   Отговор: 5 cm и 12 cm

   a + b = 17 и a² + b² = 169. Тогава 2ab = 289 − 169 = 120, ab = 60, а числа със сбор 17 и произведение 60 са 5 и 12.

Тригонометрия

1. Колко е tg 45°?

   • √2/2
   • 1
   • √3
   • 0

   Отговор: 1

   tg 45° = sin 45° : cos 45° = 1.

2. Колко е sin² 37° + cos² 37°?

   • 0
   • 2
   • 1
   • sin 74°

   Отговор: 1

   По основното тригонометрично тъждество sin² α + cos² α = 1 за всеки ъгъл α.

3. Ъгълът α е тъп и sin α = 3/5. Колко е cos α?

   • −4/5
   • 4/5
   • −3/5
   • 3/4

   Отговор: −4/5

   cos² α = 1 − 9/25 = 16/25. За тъп ъгъл косинусът е отрицателен, затова cos α = −4/5.

4. Колко е sin 120° · cos 150°?

   • 3/4
   • −1/4
   • −3/4
   • 1/4

   Отговор: −3/4

   sin 120° = √3/2 и cos 150° = −√3/2, затова произведението е −3/4.

5. За острия ъгъл α tg α = 2. Колко е (sin α + cos α)/(sin α − cos α)?

   • 1/3
   • −3
   • 2
   • 3

   Отговор: 3

   Делим числителя и знаменателя на cos α: (tg α + 1)/(tg α − 1) = 3/1 = 3.

Окръжност и многоъгълници

1. Окръжност има радиус 4 cm. Колко е дължината ѝ?

   • 16π cm
   • 4π cm
   • 8 cm
   • 8π cm

   Отговор: 8π cm

   Дължината на окръжност е C = 2πr = 2π · 4 = 8π cm.

2. Какъв ъгъл сключва допирателна към окръжност с радиуса към допирната точка?

   • 45°
   • 60°
   • 90°
   • 180°

   Отговор: 90°

   Допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.

3. Четириъгълникът ABCD е описан около окръжност. AB = 5 cm, BC = 7 cm и CD = 8 cm. Колко е DA?

   • 4 cm
   • 6 cm
   • 10 cm
   • 20 cm

   Отговор: 6 cm

   В описан четириъгълник AB + CD = BC + DA, т.е. 13 = 7 + DA и DA = 6 cm.

4. Правоъгълен триъгълник има катети 5 cm и 12 cm. Колко е радиусът на вписаната в него окръжност?

   • 2 cm
   • 6,5 cm
   • 3 cm
   • 4 cm

   Отговор: 2 cm

   Хипотенузата е 13 cm, а r = (a + b − c) : 2 = (5 + 12 − 13) : 2 = 2 cm.

5. Хордите AB и CD се пресичат в точка M. Дъгата AC, заключена в ∠AMC, е 70°, а дъгата BD е 50°. Колко е ∠AMC?

   • 120°
   • 70°
   • 10°
   • 60°

   Отговор: 60°

   Ъгъл с връх вътре в окръжността е равен на полусбора от дъгите, заключени между раменете му и техните продължения: (70° + 50°) : 2 = 60°.

Текстови задачи

1. Колко е 15% от 240?

   • 24
   • 36
   • 16
   • 30

   Отговор: 36

   15% от 240 = 0,15 · 240 = 36.

2. Цена от 120 евро е намалена с 30 евро. С колко процента е намалена цената?

   • 30%
   • 25%
   • 20%
   • 75%

   Отговор: 25%

   30 : 120 = 0,25, т.е. 25%.

3. От два града на разстояние 300 km тръгват едновременно един срещу друг два автомобила със скорости 70 km/h и 80 km/h. След колко часа ще се срещнат?

   • 3 h
   • 2 h
   • 2,5 h
   • 1,5 h

   Отговор: 2 h

   Скоростта на сближаване е 70 + 80 = 150 km/h, а 300 : 150 = 2 h.

4. Смесват се 3 kg 40% разтвор на сол и 2 kg 15% разтвор на сол. Каква е концентрацията на сместа?

   • 27,5%
   • 25%
   • 30%
   • 55%

   Отговор: 30%

   Солта е 1,2 + 0,3 = 1,5 kg в 5 kg разтвор: 1,5 : 5 = 0,3, т.е. 30%.

5. Внесени са 2000 евро при 5% годишна сложна лихва. Колко евро ще има в сметката след 2 години?

   • 2200 евро
   • 2100 евро
   • 2205 евро
   • 2210 евро

   Отговор: 2205 евро

   Всяка година сумата се умножава по 1,05: 2000 · 1,05² = 2000 · 1,1025 = 2205 евро.

Финален въпрос