Математика 10 клас: тренировъчен тест за НВО 2

Системи уравнения

1. Кое е решението на системата x + y = 7, x − y = 1?

   • (5; 2)
   • (6; 1)
   • (3; 4)
   • (4; 3)

   Отговор: (4; 3)

   Събираме уравненията: 2x = 8, x = 4. Тогава y = 7 − 4 = 3. Проверка: 4 − 3 = 1.

2. Кое е решението на системата 2x + y = 8, x − y = 1?

   • (4; 0)
   • (1; 6)
   • (3; 2)
   • (2; 4)

   Отговор: (3; 2)

   Събираме уравненията: 3x = 9, x = 3. От x − y = 1 следва y = 2. Проверка: 6 + 2 = 8.

3. При коя стойност на a системата от уравненията x + 2y = 3 и 2x + 4y = a има безброй много решения?

   • a = 6
   • a = 12
   • a = 0
   • a = 3

   Отговор: a = 6

   Второто уравнение е първото, умножено по 2, точно когато a = 2·3 = 6. Тогава уравненията съвпадат и решенията са безброй много.

4. Кои са решенията на системата x + y = 5, x·y = 6?

   • (−1; 6) и (6; −1)
   • (2; 3) и (3; 2)
   • (−2; −3) и (−3; −2)
   • (1; 6) и (6; 1)

   Отговор: (2; 3) и (3; 2)

   1. x и y са корени на t² − 5t + 6 = 0 (по Виет).
   2. t₁ = 2, t₂ = 3.
   3. Решенията са (2; 3) и (3; 2).

5. Кои са решенията на системата y = x² − 3, y = 2x?

   • (−3; −6) и (1; 2)
   • (2; 4) и (−1; −2)
   • (3; 6) и (1; 2)
   • (3; 6) и (−1; −2)

   Отговор: (3; 6) и (−1; −2)

   1. Заместваме: x² − 3 = 2x, т.е. x² − 2x − 3 = 0.
   2. x₁ = 3, x₂ = −1.
   3. y = 2x дава y₁ = 6, y₂ = −2. Решенията са (3; 6) и (−1; −2).

Тригонометрия в правоъгълен триъгълник

1. В ΔABC ∠C = 90°, BC = 3 cm, AC = 4 cm и AB = 5 cm. Колко е sin∠A?

   • 3/5
   • 4/3
   • 4/5
   • 3/4

   Отговор: 3/5

   sin∠A = срещулежащ катет : хипотенуза = BC : AB = 3/5.

2. Колко е sin 30° + cos 60°?

   • 1
   • √3/2
   • √3
   • 1/2

   Отговор: 1

   sin 30° = 1/2 и cos 60° = 1/2. Сборът е 1.

3. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm, а един от острите ъгли е 30°. Колко е катетът срещу този ъгъл?

   • 5 cm
   • 20 cm
   • 10√3 cm
   • 5√3 cm

   Отговор: 5 cm

   Катетът срещу ъгъл 30° е половината от хипотенузата: 10·sin 30° = 10·1/2 = 5 cm.

4. За острия ъгъл α tg α = 3/4. Колко е sin α?

   • 4/5
   • 5/3
   • 3/4
   • 3/5

   Отговор: 3/5

   1. Вземаме катети 3 и 4 (срещулежащ и прилежащ).
   2. Хипотенузата е √(9 + 16) = 5.
   3. sin α = 3/5.

5. В правоъгълен триъгълник катетът срещу ъгъл 60° е 6√3 cm. Колко е хипотенузата?

   • 9 cm
   • 12 cm
   • 12√3 cm
   • 6 cm

   Отговор: 12 cm

   1. sin 60° = катет : хипотенуза, т.е. √3/2 = 6√3 : c.
   2. c = 6√3 : (√3/2) = 12 cm.

Окръжност

1. Вписан ъгъл в окръжност се опира на дъга 80°. Колко е големината му?

   • 80°
   • 20°
   • 40°
   • 160°

   Отговор: 40°

   Вписаният ъгъл е равен на половината от дъгата, на която се опира: 80° : 2 = 40°.

2. Колко градуса е вписан ъгъл, който се опира на диаметър?

   • 60°
   • 90°
   • 45°
   • 180°

   Отговор: 90°

   Диаметърът стяга дъга 180°, а вписаният ъгъл е половината: 90°.

3. Окръжност има радиус 5 cm. Хорда е на разстояние 3 cm от центъра. Колко е дължината на хордата?

   • 4 cm
   • 10 cm
   • 8 cm
   • 6 cm

   Отговор: 8 cm

   1. Перпендикулярът от центъра разполовява хордата.
   2. Половината хорда е √(5² − 3²) = √16 = 4 cm.
   3. Хордата е 2·4 = 8 cm.

4. Окръжност има радиус 6 cm, а точка M е на разстояние 10 cm от центъра. Колко е дължината на допирателната отсечка от M до окръжността?

   • 16 cm
   • 8 cm
   • 2√34 cm
   • 4 cm

   Отговор: 8 cm

   1. Радиусът към допирната точка е перпендикулярен на допирателната.
   2. По Питагор: t² = 10² − 6² = 64.
   3. t = 8 cm.

5. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност, ∠A = 70° и ∠B = 95°. Колко е ∠C?

   • 85°
   • 110°
   • 95°
   • 70°

   Отговор: 110°

   Във вписан четириъгълник сборът на срещуположните ъгли е 180°. ∠C = 180° − ∠A = 180° − 70° = 110°.

Лица и обеми

1. Колко е лицето на правоъгълен триъгълник с катети 6 cm и 8 cm?

   • 24 cm²
   • 48 cm²
   • 40 cm²
   • 14 cm²

   Отговор: 24 cm²

   S = (6·8)/2 = 24 cm².

2. Колко е обемът на куб с ръб 3 cm?

   • 54 cm³
   • 27 cm³
   • 9 cm³
   • 18 cm³

   Отговор: 27 cm³

   V = a³ = 3³ = 27 cm³.

3. Колко е лицето на ромб с диагонали 10 cm и 6 cm?

   • 60 cm²
   • 15 cm²
   • 30 cm²
   • 16 cm²

   Отговор: 30 cm²

   S = (d₁·d₂)/2 = (10·6)/2 = 30 cm².

4. Цилиндър има радиус 3 cm и височина 5 cm. Колко е обемът му?

   • 45π cm³
   • 30π cm³
   • 15π cm³
   • 75π cm³

   Отговор: 45π cm³

   V = πr²h = π·9·5 = 45π cm³.

5. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 4 cm. Колко е обемът ѝ?

   • 48 cm³
   • 24 cm³
   • 144 cm³
   • 96 cm³

   Отговор: 48 cm³

   1. Лицето на основата (квадрат) е 6² = 36 cm².
   2. V = (1/3)·B·h = (1/3)·36·4 = 48 cm³.

Текстови задачи

1. Стока струва 80 евро и е намалена с 25%. Колко струва сега?

   • 55 евро
   • 60 евро
   • 64 евро
   • 20 евро

   Отговор: 60 евро

   25% от 80 е 20 евро. Новата цена е 80 − 20 = 60 евро.

2. Сборът на две числа е 30, а едното е с 6 по-голямо от другото. Кое е по-малкото число?

   • 24
   • 18
   • 15
   • 12

   Отговор: 12

   Нека по-малкото е x. Тогава x + (x + 6) = 30, 2x = 24, x = 12.

3. Влак изминава 240 km за 3 часа. Колко km ще измине за 5 часа със същата скорост?

   • 360 km
   • 400 km
   • 480 km
   • 300 km

   Отговор: 400 km

   Скоростта е 240 : 3 = 80 km/h. За 5 часа: 80·5 = 400 km.

4. Първи работник свършва работа за 6 дни, а втори за 12 дни. За колко дни ще я свършат заедно?

   • 3 дни
   • 18 дни
   • 9 дни
   • 4 дни

   Отговор: 4 дни

   1. За един ден първият свършва 1/6, а вторият 1/12 от работата.
   2. Заедно: 1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4.
   3. Цялата работа ще свършат за 4 дни.

5. Колко литра вода трябва да се добавят към 20 l 30% разтвор, за да се получи 20% разтвор?

   • 5 l
   • 10 l
   • 15 l
   • 20 l

   Отговор: 10 l

   1. Чистото вещество е 30% от 20 l = 6 l и не се променя.
   2. След добавяне на x l вода: 6 = 0,2·(20 + x).
   3. 20 + x = 30, x = 10 l.

Финален въпрос