Математика 10 клас: тренировъчен тест за НВО 6

Рационални изрази

1. При коя стойност на x изразът 3/(x − 2) няма смисъл?

   • x = −2
   • x = 0
   • x = 2
   • x = 3

   Отговор: x = 2

   Знаменателят не може да е 0, а x − 2 = 0 при x = 2.

2. Съкратете дробта (x² − 9)/(x + 3).

   • x + 3
   • x − 3
   • x − 9
   • x² − 3

   Отговор: x − 3

   x² − 9 = (x − 3)(x + 3), затова след съкращаване остава x − 3 (при x ≠ −3).

3. На колко е равно 1/x + 1/(x + 1)?

   • (2x + 1)/(x(x + 1))
   • 2/(2x + 1)
   • 2/(x(x + 1))
   • 1/(x(x + 1))

   Отговор: (2x + 1)/(x(x + 1))

   Привеждаме към общ знаменател x(x + 1): (x + 1 + x)/(x(x + 1)) = (2x + 1)/(x(x + 1)).

4. Решете уравнението (x + 1)/(x − 1) = 3.

   • x = 1
   • x = −2
   • x = 4
   • x = 2

   Отговор: x = 2

   При x ≠ 1: x + 1 = 3x − 3, откъдето 2x = 4 и x = 2.

5. Решете уравнението x/(x − 2) − 8/(x² − 4) = 1.

   • x = 2
   • x = −2
   • Няма решение
   • x = 4

   Отговор: Няма решение

   Умножаваме по (x − 2)(x + 2): x² + 2x − 8 = x² − 4, откъдето x = 2. Но x = 2 не е допустима стойност, затова уравнението няма решение.

Неравенства

1. Кои са решенията на неравенството 2x − 6 > 0?

   • x ∈ (3; +∞)
   • x ∈ (−∞; 3)
   • x ∈ (−3; +∞)
   • x ∈ [3; +∞)

   Отговор: x ∈ (3; +∞)

   2x > 6, откъдето x > 3.

2. Кои са решенията на неравенството −3x ≤ 12?

   • x ∈ [−4; +∞)
   • x ∈ (−∞; −4]
   • x ∈ [4; +∞)
   • x ∈ (−∞; 4]

   Отговор: x ∈ [−4; +∞)

   Делим на −3 и обръщаме знака: x ≥ −4.

3. Кои са решенията на неравенството (x − 1)(x + 4) < 0?

   • x ∈ (−4; 1)
   • x ∈ (−∞; −4) ∪ (1; +∞)
   • x ∈ (−1; 4)
   • x ∈ (−4; 1]

   Отговор: x ∈ (−4; 1)

   Нулите са −4 и 1. Произведението е отрицателно между тях: −4 < x < 1.

4. Колко цели числа са решения на системата 2x + 1 > −5 и x − 3 ≤ 1?

   • 8
   • 7
   • 6
   • 5

   Отговор: 7

   От първото неравенство x > −3, от второто x ≤ 4. Целите решения са −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, т.е. 7 числа.

5. Кои са решенията на неравенството (x − 3)/(x + 2) ≥ 0?

   • x ∈ (−∞; −2] ∪ [3; +∞)
   • x ∈ (−∞; −2) ∪ [3; +∞)
   • x ∈ (−2; 3]
   • x ∈ [−2; 3]

   Отговор: x ∈ (−∞; −2) ∪ [3; +∞)

   Нулата на числителя е 3, на знаменателя е −2. Дробта е неотрицателна при x < −2 или x ≥ 3, като −2 се изключва, защото знаменателят става 0.

Прогресии

1. Кой е десетият член на аритметичната прогресия 5, 8, 11, ...?

   • 35
   • 30
   • 32
   • 29

   Отговор: 32

   a₁₀ = a₁ + 9d = 5 + 9 · 3 = 32.

2. Колко е частното на геометричната прогресия 81, 27, 9, ...?

   • 3
   • −3
   • −1/3
   • 1/3

   Отговор: 1/3

   q = 27 : 81 = 1/3.

3. Числата 7, x и 19 (в този ред) са последователни членове на аритметична прогресия. Колко е x?

   • 12
   • 13
   • 11
   • 26

   Отговор: 13

   Средният член е средноаритметично на съседните: x = (7 + 19) : 2 = 13.

4. Колко е сборът на всички двуцифрени числа, които се делят на 5?

   • 950
   • 900
   • 1045
   • 945

   Отговор: 945

   Числата 10, 15, ..., 95 са 18 члена на аритметична прогресия. S = (10 + 95) · 18 : 2 = 945.

5. Сборът на първите три члена на геометрична прогресия е 21, b₁ = 3 и q > 0. Колко е q?

   • 2
   • 3
   • −3
   • 4

   Отговор: 2

   3(1 + q + q²) = 21, откъдето q² + q − 6 = 0, q = 2 или q = −3. Понеже q > 0, q = 2.

Подобни триъгълници

1. Два триъгълника имат по два съответно равни ъгъла. Какви са тези триъгълници?

   • Подобни
   • Еднакви
   • Равнобедрени
   • Правоъгълни

   Отговор: Подобни

   Според първия признак за подобност два триъгълника с два съответно равни ъгъла са подобни.

2. В ΔABC точка M е от AB, точка N е от AC и MN ∥ BC. Ако AM = 3 cm, MB = 6 cm и AN = 2 cm, колко е NC?

   • 1 cm
   • 9 cm
   • 3 cm
   • 4 cm

   Отговор: 4 cm

   По теоремата на Талес AM : MB = AN : NC, т.е. 3 : 6 = 2 : NC, откъдето NC = 4 cm.

3. В ΔABC AB = 6 cm, AC = 9 cm и BC = 10 cm. Ъглополовящата AL (L е от BC) дели BC на две отсечки. Колко е BL?

   • 6 cm
   • 5 cm
   • 4 cm
   • 3 cm

   Отговор: 4 cm

   BL : LC = AB : AC = 6 : 9 = 2 : 3. Тогава BL = 10 · 2/5 = 4 cm.

4. Периметрите на два подобни триъгълника са 18 cm и 30 cm. Страна на по-малкия триъгълник е 6 cm. Колко е съответната страна на по-големия?

   • 12 cm
   • 10 cm
   • 14 cm
   • 18 cm

   Отговор: 10 cm

   Коефициентът на подобие е 30 : 18 = 5/3, затова търсената страна е 6 · 5/3 = 10 cm.

5. В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) CH е височина, AC = 6 cm и AB = 9 cm. Колко е AH?

   • 4 cm
   • 3 cm
   • 5 cm
   • 2√5 cm

   Отговор: 4 cm

   Катетът е средно геометрично на хипотенузата и проекцията си: AC² = AH · AB, т.е. 36 = AH · 9 и AH = 4 cm.

Статистика

1. Колко е средноаритметичното на числата 2, 4, 6 и 8?

   • 4
   • 6
   • 5
   • 20

   Отговор: 5

   Сборът е 20, а числата са 4: 20 : 4 = 5.

2. Каква е медианата на данните 7, 1, 4, 9, 3?

   • 4,8
   • 7
   • 4
   • 3

   Отговор: 4

   Подредени: 1, 3, 4, 7, 9. Средното по ред число е 4.

3. Коя е модата на данните 3, 5, 5, 2, 8, 3, 5?

   • 3
   • 6
   • 5
   • 2

   Отговор: 5

   Модата е стойността, която се среща най-често. Числото 5 се среща 3 пъти.

4. Ученик има оценки 5, 6, 4 и 6. Каква оценка трябва да получи, за да стане средният му успех 5,40?

   • 5
   • 4
   • 3
   • 6

   Отговор: 6

   За среден успех 5,40 от 5 оценки сборът трябва да е 27. Сега сборът е 21, затова е нужна оценка 6.

5. Средната възраст на 10 ученици е 15 години. Когато към тях се присъедини учителят, средната възраст става 17 години. На колко години е учителят?

   • 35
   • 32
   • 27
   • 37

   Отговор: 37

   Сборът на възрастите на учениците е 150, а на всички 11 души е 11 · 17 = 187. Учителят е на 187 − 150 = 37 години.

Финален въпрос