Матура по математика: тренировъчен тест 1

Уравнения и неравенства

1. Решете уравнението 2x² − 5x − 3 = 0.

   • x = −3 и x = 1/2
   • x = 3 и x = 1/2
   • x = 1 и x = −3/2
   • x = 3 и x = −1/2

   Отговор: x = 3 и x = −1/2

   D = (−5)² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49. Тогава x = (5 ± 7)/4, откъдето x = 12/4 = 3 и x = −2/4 = −1/2.

2. Решете уравнението |2x − 1| = 5.

   • x = −3 и x = 2
   • x = 2 и x = −2
   • x = 3 и x = −2
   • x = 3

   Отговор: x = 3 и x = −2

   Модулът е 5, когато 2x − 1 = 5 или 2x − 1 = −5. От първото x = 3, от второто 2x = −4, x = −2.

3. Решете уравнението √(x + 7) = x + 1.

   • x = −3
   • x = 2
   • няма решение
   • x = 2 и x = −3

   Отговор: x = 2

   Условия: x + 7 ≥ 0 и x + 1 ≥ 0, т.е. x ≥ −1. Повдигаме на квадрат: x + 7 = x² + 2x + 1, x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3. Само x = 2 изпълнява x ≥ −1. Проверка: √9 = 3 = 2 + 1.

4. Решете уравнението 2^2x − 6·2^x + 8 = 0.

   • x = 1
   • x = 0 и x = 3
   • x = 1 и x = 2
   • x = 2 и x = 4

   Отговор: x = 1 и x = 2

   Полагаме t = 2^x, t > 0: t² − 6t + 8 = 0, t = 2 или t = 4. От 2^x = 2 следва x = 1, а от 2^x = 4 следва x = 2.

5. Решете уравнението log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3.

   • x = ±3
   • x = 3
   • x = 9
   • x = −3

   Отговор: x = 3

   ДМ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, т.е. x > 1. Тогава log₂((x − 1)(x + 1)) = 3, x² − 1 = 8, x² = 9, x = ±3. В ДМ е само x = 3.

Функции и производни

1. Намерете производната на функцията f(x) = x³ − 3x² + 2.

   • f′(x) = 3x² − 6x + 2
   • f′(x) = 3x − 6
   • f′(x) = x² − 6x
   • f′(x) = 3x² − 6x

   Отговор: f′(x) = 3x² − 6x

   (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, а производната на константа е 0: (x³)′ = 3x², (3x²)′ = 6x, (2)′ = 0. Следователно f′(x) = 3x² − 6x.

2. Кои са координатите на върха на параболата y = x² − 4x + 1?

   • (4; 1)
   • (2; 1)
   • (−2; 13)
   • (2; −3)

   Отговор: (2; −3)

   Абсцисата на върха е x = −b/(2a) = 4/2 = 2. Тогава y = 4 − 8 + 1 = −3. Върхът е (2; −3).

3. Намерете уравнението на допирателната към графиката на f(x) = x² + 1 в точката с абсциса x₀ = 1.

   • y = 2x
   • y = x + 1
   • y = 2x − 1
   • y = 2x + 2

   Отговор: y = 2x

   f(1) = 2, f′(x) = 2x, f′(1) = 2. Уравнението е y = f′(1)(x − 1) + f(1) = 2(x − 1) + 2 = 2x.

4. В кой интервал функцията f(x) = x³ − 12x е намаляваща?

   • [−2; 2]
   • (−∞; −2] ∪ [2; +∞)
   • [−4; 4]
   • [0; +∞)

   Отговор: [−2; 2]

   f′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2). f′(x) ≤ 0 при −2 ≤ x ≤ 2, затова там f намалява.

5. Намерете най-голямата стойност на функцията f(x) = x³ − 3x в интервала [0; 2].

   • 0
   • 2
   • 8
   • −2

   Отговор: 2

   f′(x) = 3x² − 3 = 0 при x = ±1; в интервала е x = 1. Сравняваме: f(0) = 0, f(1) = 1 − 3 = −2, f(2) = 8 − 6 = 2. Най-голямата стойност е 2.

Тригонометрия

1. Пресметнете sin 30° + cos 60°.

   • √3/2
   • √3
   • 1/2
   • 1

   Отговор: 1

   sin 30° = 1/2 и cos 60° = 1/2, затова сборът е 1/2 + 1/2 = 1.

2. Ъгълът α е остър и sin α = 3/5. Намерете cos α.

   • −4/5
   • 3/4
   • 2/5
   • 4/5

   Отговор: 4/5

   От sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 9/25 = 16/25. Понеже α е остър, cos α > 0, затова cos α = 4/5.

3. Опростете израза sin²α + cos²α + tg α · cotg α (α ≠ k·90°).

   • 0
   • sin 2α
   • 2
   • 1

   Отговор: 2

   sin²α + cos²α = 1 и tg α · cotg α = 1, затова изразът е 1 + 1 = 2.

4. Решете уравнението sin x = 1/2 в интервала [0°; 360°).

   • 30°
   • 30° и 330°
   • 30° и 150°
   • 60° и 120°

   Отговор: 30° и 150°

   sin x = 1/2 при x = 30°. Синусът е положителен в I и II квадрант, затова второто решение е 180° − 30° = 150°.

5. Дадено е cos α = 1/3. Намерете cos 2α.

   • −1/3
   • −7/9
   • 7/9
   • 2/3

   Отговор: −7/9

   cos 2α = 2cos²α − 1 = 2·1/9 − 1 = 2/9 − 9/9 = −7/9.

Прогресии и вероятности

1. В аритметична прогресия a₁ = 3 и d = 4. Намерете a₁₀.

   • 39
   • 43
   • 40
   • 36

   Отговор: 39

   a_n = a₁ + (n − 1)d, затова a₁₀ = 3 + 9·4 = 39.

2. В геометрична прогресия b₁ = 2 и q = 3. Намерете b₄.

   • 54
   • 18
   • 24
   • 162

   Отговор: 54

   b_n = b₁·qⁿ⁻¹, затова b₄ = 2·3³ = 2·27 = 54.

3. По колко начина 5 ученици могат да се наредят в редица?

   • 120
   • 24
   • 25
   • 60

   Отговор: 120

   Това са пермутации на 5 елемента: P₅ = 5! = 5·4·3·2·1 = 120.

4. Зар се хвърля два пъти. Каква е вероятността сборът от точките да е 7?

   • 1/36
   • 1/6
   • 1/12
   • 7/36

   Отговор: 1/6

   Всички изходи са 6·6 = 36. Благоприятните са (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1), т.е. 6. P = 6/36 = 1/6.

5. В урна има 5 бели и 3 черни топки. Изтегляме едновременно 2 топки. Каква е вероятността и двете да са бели?

   • 5/8
   • 25/64
   • 5/14
   • 5/28

   Отговор: 5/14

   Всички възможности са C₈² = 28, а благоприятните са C₅² = 10. P = 10/28 = 5/14.

Планиметрия и стереометрия

1. Две страни на триъгълник са 6 cm и 8 cm, а ъгълът между тях е 30°. Намерете лицето на триъгълника.

   • 12√3 cm²
   • 48 cm²
   • 24 cm²
   • 12 cm²

   Отговор: 12 cm²

   S = (1/2)·a·b·sin γ = (1/2)·6·8·sin 30° = 24·(1/2) = 12 cm².

2. В триъгълник a = 5 cm, b = 8 cm и γ = 60°. Намерете страната c.

   • √129 cm
   • 7 cm
   • 13 cm
   • √89 cm

   Отговор: 7 cm

   По косинусовата теорема c² = a² + b² − 2ab·cos γ = 25 + 64 − 2·5·8·(1/2) = 89 − 40 = 49, c = 7 cm.

3. В триъгълник a = 10 cm и α = 30°. Намерете радиуса R на описаната окръжност.

   • 5 cm
   • 20 cm
   • 10 cm
   • 5√3 cm

   Отговор: 10 cm

   По синусовата теорема a/sin α = 2R, затова 2R = 10/(1/2) = 20 и R = 10 cm.

4. Правилна четириъгълна призма има основен ръб 4 cm и височина 5 cm. Намерете пълната ѝ повърхнина.

   • 112 cm²
   • 80 cm²
   • 96 cm²
   • 160 cm²

   Отговор: 112 cm²

   Основата е квадрат с лице 16 cm². Околната повърхнина е 4·4·5 = 80 cm². Пълната е S = 2·16 + 80 = 112 cm².

5. Прав кръгов конус има радиус на основата 3 cm и височина 4 cm. Намерете пълната му повърхнина.

   • 24π cm²
   • 33π cm²
   • 15π cm²
   • 12π cm²

   Отговор: 24π cm²

   Образуващата е l = √(3² + 4²) = 5 cm. S = πr² + πrl = 9π + 15π = 24π cm².

Финален въпрос