Матура по математика: тренировъчен тест 5

Уравнения

1. Решете уравнението x² − 7x + 10 = 0.

   • x = 2 и x = 5
   • x = −2 и x = −5
   • x = 1 и x = 10
   • x = 5

   Отговор: x = 2 и x = 5

   По формулите на Виет x₁ + x₂ = 7 и x₁·x₂ = 10, затова корените са 2 и 5.

2. Решете уравнението |3x − 2| = 4.

   • x = 2
   • x = −2 и x = 2/3
   • x = 2 и x = −2/3
   • x = 2/3 и x = 2

   Отговор: x = 2 и x = −2/3

   3x − 2 = 4 дава x = 2, а 3x − 2 = −4 дава x = −2/3.

3. Решете уравнението √(x + 3) = x − 3.

   • x = 1 и x = 6
   • x = 6
   • x = 1
   • няма решение

   Отговор: x = 6

   Условие x ≥ 3. Повдигаме на квадрат: x + 3 = x² − 6x + 9, x² − 7x + 6 = 0, x = 1 или x = 6. Само x = 6 изпълнява условието: √9 = 3.

4. Решете уравнението 9^x − 4·3^x + 3 = 0.

   • x = 1 и x = 3
   • x = 0 и x = 1
   • x = 1
   • x = 0 и x = 3

   Отговор: x = 0 и x = 1

   Полагаме t = 3^x > 0: t² − 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3. Тогава 3^x = 1 дава x = 0, а 3^x = 3 дава x = 1.

5. Решете уравнението log₃(x + 1) + log₃(x − 1) = 1.

   • x = ±2
   • x = −2
   • x = 2
   • x = 4

   Отговор: x = 2

   ДМ: x > 1. Тогава log₃(x² − 1) = 1, x² − 1 = 3, x² = 4. От ДМ остава само x = 2.

Функции и производни

1. Намерете производната на f(x) = x⁴ − 2x.

   • f′(x) = 4x³ − 2
   • f′(x) = 4x³ − 2x
   • f′(x) = x³ − 2
   • f′(x) = 4x⁴ − 2

   Отговор: f′(x) = 4x³ − 2

   (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, затова (x⁴)′ = 4x³, а (2x)′ = 2.

2. Намерете най-малката стойност на функцията f(x) = x² − 6x + 11.

   • 2
   • 3
   • 11
   • −2

   Отговор: 2

   Върхът на параболата е при x = −b/(2a) = 3, а f(3) = 9 − 18 + 11 = 2. Коефициентът пред x² е положителен, затова това е най-малката стойност.

3. Намерете уравнението на допирателната към графиката на f(x) = x³ в точката с абсциса x₀ = 1.

   • y = 3x − 3
   • y = 3x − 2
   • y = 3x + 2
   • y = x

   Отговор: y = 3x − 2

   f(1) = 1 и f′(x) = 3x², f′(1) = 3. Допирателната е y − 1 = 3(x − 1), т.е. y = 3x − 2.

4. Намерете локалния максимум на функцията f(x) = x³ − 3x² + 4.

   • 0
   • 2
   • 8
   • 4

   Отговор: 4

   f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Производната сменя знака от + на − при x = 0, затова локалният максимум е f(0) = 4.

5. Сборът на две положителни числа е 12. Каква е най-голямата стойност на произведението на едното число с квадрата на другото?

   • 216
   • 256
   • 243
   • 128

   Отговор: 256

   Ако числата са 12 − y и y, търсим максимум на f(y) = (12 − y)y² = 12y² − y³. f′(y) = 24y − 3y² = 0 при y = 8, затова максимумът е 4·64 = 256.

Тригонометрия

1. Колко градуса са 3π/4 радиана?

   • 120°
   • 135°
   • 150°
   • 270°

   Отговор: 135°

   π rad = 180°, затова 3π/4 rad = 3·180°/4 = 135°.

2. Пресметнете tg 45° + cos 180°.

   • 2
   • 1
   • −1
   • 0

   Отговор: 0

   tg 45° = 1 и cos 180° = −1, сборът е 0.

3. Дадено е cos α = −5/13 и 90° < α < 180°. Намерете tg α.

   • 12/5
   • −5/12
   • −12/5
   • −12/13

   Отговор: −12/5

   Във втори квадрант sin α > 0: sin α = √(1 − 25/169) = 12/13. tg α = sin α/cos α = (12/13)/(−5/13) = −12/5.

4. Пресметнете sin 40° cos 20° + cos 40° sin 20°.

   • 1/2
   • √2/2
   • √3/2
   • 1

   Отговор: √3/2

   По формулата sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β изразът е sin 60° = √3/2.

5. Решете уравнението 2sin²x + 3cos x − 3 = 0 в интервала [0°; 360°).

   • 60° и 300°
   • 0°, 60° и 300°
   • 0° и 60°
   • 0°, 60° и 120°

   Отговор: 0°, 60° и 300°

   Заместваме sin²x = 1 − cos²x: 2cos²x − 3cos x + 1 = 0, cos x = 1 или cos x = 1/2. Оттук x = 0°, x = 60° или x = 300°.

Прогресии и вероятности

1. Намерете петия член на геометричната прогресия 5, 10, 20, ...

   • 40
   • 160
   • 25
   • 80

   Отговор: 80

   b₁ = 5, q = 2, b₅ = b₁·q⁴ = 5·16 = 80.

2. Колко трицифрени числа могат да се запишат с цифрите 1, 2, 3 и 4, ако цифрите могат да се повтарят?

   • 24
   • 12
   • 81
   • 64

   Отговор: 64

   За всяка от трите позиции има 4 възможности: 4·4·4 = 64.

3. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността двете числа да са равни?

   • 1/36
   • 1/12
   • 1/3
   • 1/6

   Отговор: 1/6

   Благоприятните изходи са 6 (1-1, 2-2, ..., 6-6) от всичко 36, P = 6/36 = 1/6.

4. В кутия има 4 червени и 6 сини топки. Изтегляме последователно 2 топки без връщане. Каква е вероятността първата да е червена, а втората синя?

   • 6/25
   • 8/15
   • 4/15
   • 2/5

   Отговор: 4/15

   P = 4/10 · 6/9 = 24/90 = 4/15. (6/25 би било при теглене с връщане.)

5. В банка се внасят 1000 евро при 5% годишна сложна лихва. Каква е сумата след 2 години?

   • 1102,50 евро
   • 1100 евро
   • 1105 евро
   • 1050 евро

   Отговор: 1102,50 евро

   При сложна лихва сумата е 1000·1,05² = 1000·1,1025 = 1102,50 евро.

Планиметрия и стереометрия

1. Два ъгъла на триъгълник са 47° и 68°. Намерете третия ъгъл.

   • 65°
   • 75°
   • 115°
   • 55°

   Отговор: 65°

   Сборът на ъглите в триъгълник е 180°: 180° − 47° − 68° = 65°.

2. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm, а единият катет е 6 cm. Намерете лицето на триъгълника.

   • 48 cm²
   • 30 cm²
   • 60 cm²
   • 24 cm²

   Отговор: 24 cm²

   Другият катет е √(100 − 36) = 8 cm. S = 6·8/2 = 24 cm².

3. В триъгълник ABC: a = 6 cm, α = 30° и β = 45°. Намерете страната b.

   • 3√2 cm
   • 6√3 cm
   • 6√2 cm
   • 12 cm

   Отговор: 6√2 cm

   По синусовата теорема b = a·sin β/sin α = 6·(√2/2)/(1/2) = 6√2 cm.

4. Равнобедрен трапец има основи 12 cm и 4 cm и бедро 5 cm. Намерете лицето му.

   • 48 cm²
   • 40 cm²
   • 32 cm²
   • 24 cm²

   Отговор: 24 cm²

   Проекцията на бедрото върху голямата основа е (12 − 4)/2 = 4 cm, височината е √(25 − 16) = 3 cm. S = (12 + 4)/2 · 3 = 24 cm².

5. Прав кръгов конус има радиус на основата 6 cm и образувателна 10 cm. Намерете обема му.

   • 288π cm³
   • 96π cm³
   • 120π cm³
   • 60π cm³

   Отговор: 96π cm³

   Височината е √(100 − 36) = 8 cm. V = (1/3)πr²h = (1/3)·π·36·8 = 96π cm³.

Финален въпрос