Матура по математика: тренировъчен тест 2

Уравнения и неравенства

1. Решете неравенството x² − 5x + 6 < 0.

   • (2; 3)
   • (−∞; 2) ∪ (3; +∞)
   • (−3; −2)
   • [2; 3]

   Отговор: (2; 3)

   Корените на x² − 5x + 6 = 0 са 2 и 3. Параболата е с клони нагоре, затова е отрицателна между корените: 2 < x < 3.

2. Решете уравнението 3^x−1 = 27.

   • x = 9
   • x = 2
   • x = 4
   • x = 3

   Отговор: x = 4

   27 = 3³, затова 3^x−1 = 3³, x − 1 = 3, x = 4.

3. Решете уравнението log₃(2x + 1) = 2.

   • x = 4,5
   • x = 4
   • x = 3,5
   • x = 1

   Отговор: x = 4

   ДМ: 2x + 1 > 0, x > −1/2. По определение 2x + 1 = 3² = 9, 2x = 8, x = 4, което е в ДМ.

4. Решете неравенството |x − 3| < 2.

   • (1; 5)
   • (−5; −1)
   • (1; 3)
   • (−∞; 1) ∪ (5; +∞)

   Отговор: (1; 5)

   |x − 3| < 2 означава −2 < x − 3 < 2. Прибавяме 3: 1 < x < 5.

5. Решете неравенството (x − 1)/(x + 2) ≥ 0.

   • (−∞; −2) ∪ [1; +∞)
   • (−∞; −2] ∪ [1; +∞)
   • (−2; 1]
   • [−2; 1]

   Отговор: (−∞; −2) ∪ [1; +∞)

   Нулата на числителя е x = 1 (включва се), а знаменателят се нулира при x = −2 (изключва се). С метода на интервалите дробта е неотрицателна при x < −2 или x ≥ 1.

Функции и производни

1. Намерете дефиниционното множество на функцията f(x) = √(4 − x).

   • (−∞; 4]
   • (−∞; 4)
   • [4; +∞)
   • [−4; 4]

   Отговор: (−∞; 4]

   Подкоренната величина трябва да е неотрицателна: 4 − x ≥ 0, т.е. x ≤ 4.

2. Дадена е f(x) = 2x³ − x. Намерете f′(1).

   • 1
   • 6
   • 5
   • 4

   Отговор: 5

   f′(x) = 6x² − 1, затова f′(1) = 6 − 1 = 5.

3. Намерете производната на f(x) = x + 1/x (x ≠ 0).

   • f′(x) = x − 1/x²
   • f′(x) = 1 − 1/x
   • f′(x) = 1 + 1/x²
   • f′(x) = 1 − 1/x²

   Отговор: f′(x) = 1 − 1/x²

   (x)′ = 1, а (1/x)′ = (x⁻¹)′ = −x⁻² = −1/x². Следователно f′(x) = 1 − 1/x².

4. Коя е точката на локален минимум на функцията f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1?

   • x = 2
   • x = 3
   • x = 1
   • x = 0

   Отговор: x = 3

   f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Знакът на f′ е +, −, + за x < 1, 1 < x < 3, x > 3. В x = 3 производната сменя знака от − на +, затова там има минимум.

5. Намерете най-малката стойност на функцията f(x) = x + 4/x при x > 0.

   • 0
   • 5
   • 2
   • 4

   Отговор: 4

   f′(x) = 1 − 4/x² = 0 при x = 2 (x > 0). При 0 < x < 2 f′ < 0, а при x > 2 f′ > 0, затова в x = 2 има минимум: f(2) = 2 + 2 = 4.

Тригонометрия

1. Пресметнете cos 120°.

   • −√3/2
   • 1/2
   • −1/2
   • √3/2

   Отговор: −1/2

   cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2.

2. На какво е равно sin(90° − α)?

   • tg α
   • cos α
   • sin α
   • −cos α

   Отговор: cos α

   По формулите за привеждане sin(90° − α) = cos α.

3. Известно е, че tg α = 2. Пресметнете (sin α + cos α)/(sin α − cos α).

   • −3
   • 2
   • 1/3
   • 3

   Отговор: 3

   Делим числителя и знаменателя на cos α ≠ 0: (tg α + 1)/(tg α − 1) = (2 + 1)/(2 − 1) = 3.

4. Решете уравнението cos x = −√2/2 в интервала [0°; 360°).

   • 45° и 315°
   • 135° и 225°
   • 45° и 135°
   • 135° и 315°

   Отговор: 135° и 225°

   cos 45° = √2/2. Косинусът е отрицателен във II и III квадрант: x = 180° − 45° = 135° и x = 180° + 45° = 225°.

5. Решете уравнението 2sin²x − sin x − 1 = 0 в интервала [0°; 360°).

   • 90°, 210° и 330°
   • 90° и 270°
   • 30°, 150° и 270°
   • 210° и 330°

   Отговор: 90°, 210° и 330°

   Полагаме t = sin x: 2t² − t − 1 = 0, t = 1 или t = −1/2. sin x = 1 при x = 90°. sin x = −1/2 при x = 180° + 30° = 210° и x = 360° − 30° = 330°.

Вероятности и статистика

1. Намерете средното аритметично на числата 3, 5, 7, 9, 11.

   • 35
   • 9
   • 7
   • 6

   Отговор: 7

   Сборът е 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35, а числата са 5. Средното е 35/5 = 7.

2. Намерете модата на данните 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8.

   • 8
   • 4
   • 3
   • 5

   Отговор: 5

   Модата е стойността, която се среща най-често. Числото 5 се среща 3 пъти, повече от всяко друго.

3. По колко начина от 7 ученици могат да се изберат председател и секретар на класа?

   • 21
   • 14
   • 42
   • 49

   Отговор: 42

   Редът има значение (две различни длъжности). Това са вариации: V₇² = 7·6 = 42.

4. Монета се хвърля 3 пъти. Каква е вероятността да се паднат точно 2 ези?

   • 1/4
   • 3/8
   • 1/2
   • 2/3

   Отговор: 3/8

   Всички изходи са 2³ = 8. Точно 2 ези има в ЕЕТ, ЕТЕ и ТЕЕ, т.е. 3 изхода. P = 3/8.

5. Намерете дисперсията σ² на данните 2, 4, 6, 8.

   • 4
   • √5
   • 20
   • 5

   Отговор: 5

   Средното е (2 + 4 + 6 + 8)/4 = 5. Квадратите на отклоненията са 9, 1, 1, 9 със сбор 20. σ² = 20/4 = 5.

Планиметрия и стереометрия

1. Катетите на правоъгълен триъгълник са 5 cm и 12 cm. Намерете хипотенузата.

   • 15 cm
   • √119 cm
   • 17 cm
   • 13 cm

   Отговор: 13 cm

   По Питагоровата теорема c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, c = 13 cm.

2. Успоредник има страни 6 cm и 10 cm и остър ъгъл 30°. Намерете лицето му.

   • 30 cm²
   • 30√3 cm²
   • 15 cm²
   • 60 cm²

   Отговор: 30 cm²

   S = a·b·sin α = 6·10·sin 30° = 60·(1/2) = 30 cm².

3. В триъгълник ABC: α = 45°, β = 60° и a = 4√2 cm. Намерете страната b.

   • 2√6 cm
   • 4√6 cm
   • 4√3 cm
   • 8 cm

   Отговор: 4√3 cm

   По синусовата теорема b = a·sin β/sin α = 4√2·(√3/2)/(√2/2) = 4√2·√3/√2 = 4√3 cm.

4. Страните на триъгълник са 13 cm, 14 cm и 15 cm. Намерете лицето му.

   • 91 cm²
   • 84 cm²
   • 42 cm²
   • 168 cm²

   Отговор: 84 cm²

   По формулата на Херон: p = (13 + 14 + 15)/2 = 21. S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 cm².

5. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 4 cm. Намерете пълната ѝ повърхнина.

   • 96 cm²
   • 60 cm²
   • 84 cm²
   • 48 cm²

   Отговор: 96 cm²

   Апотемата е k = √(4² + 3²) = 5 cm (3 cm е половината от основния ръб). Околната повърхнина е 4·(1/2)·6·5 = 60 cm². Пълната е 36 + 60 = 96 cm².

Финален въпрос