Матура по математика: тренировъчен тест 7

Уравнения

1. Решете уравнението 2^{x + 1} = 16.

   • x = 4
   • x = 8
   • x = 2
   • x = 3

   Отговор: x = 3

   16 = 2⁴, затова x + 1 = 4 и x = 3.

2. Решете уравнението |x² − 2x| = 3.

   • x = 3, x = −1 и x = 1
   • x = 3 и x = −1
   • x = 1 и x = 3
   • x = −3 и x = 1

   Отговор: x = 3 и x = −1

   x² − 2x = 3 дава x = 3 или x = −1. Уравнението x² − 2x = −3 има отрицателна дискриминанта и няма реални корени.

3. Решете уравнението log₅(x² − 4) = log₅(3x).

   • x = 4 и x = −1
   • x = −1
   • x = 4
   • няма решение

   Отговор: x = 4

   ДМ: x² − 4 > 0 и 3x > 0, т.е. x > 2. От x² − 4 = 3x следва x² − 3x − 4 = 0, x = 4 или x = −1. Остава само x = 4.

4. Решете уравнението log₂x + log₄x = 3.

   • x = 8
   • x = 2
   • x = 16
   • x = 4

   Отговор: x = 4

   log₄x = (1/2)log₂x, затова (3/2)log₂x = 3, log₂x = 2 и x = 4.

5. Решете уравнението 3^{x + 1} + 3^{x − 1} = 30.

   • x = 3
   • x = 2
   • x = 1
   • x = 9

   Отговор: x = 2

   Изнасяме 3^x: 3^x(3 + 1/3) = 30, 3^x·10/3 = 30, 3^x = 9 и x = 2.

Функции и производни

1. В коя точка графиката на функцията y = 2x − 6 пресича абсцисната ос?

   • (0; −6)
   • (−3; 0)
   • (3; 0)
   • (6; 0)

   Отговор: (3; 0)

   На абсцисната ос y = 0: 2x − 6 = 0, x = 3.

2. Намерете производната на f(x) = (x² + 1)(x − 2).

   • f′(x) = 2x
   • f′(x) = 3x² − 4x + 1
   • f′(x) = 3x² − 4x
   • f′(x) = 3x² + 1

   Отговор: f′(x) = 3x² − 4x + 1

   Разкриваме скобите: f(x) = x³ − 2x² + x − 2, затова f′(x) = 3x² − 4x + 1.

3. Какъв ъгъл сключва с оста Ox допирателната към графиката на f(x) = x² − x в точката с абсциса x₀ = 1?

   • 30°
   • 60°
   • 135°
   • 45°

   Отговор: 45°

   f′(x) = 2x − 1, f′(1) = 1. Ъгловият коефициент е tg φ = 1, затова φ = 45°.

4. Намерете най-голямата стойност на функцията f(x) = x⁴ − 2x² в интервала [−2; 1].

   • 0
   • 8
   • −1
   • 1

   Отговор: 8

   f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1), критичните точки са −1, 0 и 1. f(−2) = 8, f(−1) = −1, f(0) = 0, f(1) = −1. Най-голямата стойност е 8.

5. Числото 8 е представено като сбор на две неотрицателни числа. Колко е най-малката възможна стойност на сбора от квадратите им?

   • 64
   • 16
   • 32
   • 40

   Отговор: 32

   Ако числата са x и 8 − x, f(x) = x² + (8 − x)², f′(x) = 4x − 16 = 0 при x = 4. f(4) = 16 + 16 = 32.

Тригонометрия

1. Пресметнете sin 60° · cos 30°.

   • √3/2
   • 1/2
   • 3/2
   • 3/4

   Отговор: 3/4

   sin 60° = cos 30° = √3/2, произведението е 3/4.

2. Пресметнете tg 135°.

   • 1
   • −1
   • −√3
   • 0

   Отговор: −1

   tg(180° − α) = −tg α, затова tg 135° = −tg 45° = −1.

3. Опростете израза sin 2α/(1 + cos 2α) при cos α ≠ 0.

   • cotg α
   • sin α
   • 2tg α
   • tg α

   Отговор: tg α

   sin 2α = 2sin α cos α и 1 + cos 2α = 2cos²α. Частното е sin α/cos α = tg α.

4. Решете уравнението sin 2x = 1 в интервала [0°; 360°).

   • 45°
   • 45° и 135°
   • 45° и 225°
   • 90° и 270°

   Отговор: 45° и 225°

   При 0° ≤ x < 360° имаме 0° ≤ 2x < 720°. sin 2x = 1 при 2x = 90° или 2x = 450°, т.е. x = 45° или x = 225°.

5. Решете уравнението cos 2x − cos x = 0 в интервала [0°; 360°).

   • 0°, 120° и 240°
   • 120° и 240°
   • 0°, 60° и 300°
   • 0° и 180°

   Отговор: 0°, 120° и 240°

   cos 2x = 2cos²x − 1, затова 2cos²x − cos x − 1 = 0, cos x = 1 или cos x = −1/2. Оттук x = 0°, 120° или 240°.

Комбинаторика и вероятности

1. Пресметнете 5!/3!.

   • 2
   • 20
   • 120
   • 60

   Отговор: 20

   5!/3! = 5·4·3!/3! = 20.

2. По колко начина могат да се изберат 2 книги от 6 различни книги?

   • 30
   • 12
   • 15
   • 36

   Отговор: 15

   Редът няма значение: C₆² = 6·5/2 = 15.

3. Колко четирицифрени числа с различни цифри могат да се запишат с цифрите 0, 1, 2 и 3?

   • 24
   • 27
   • 18
   • 12

   Отговор: 18

   Първата цифра не може да е 0, затова има 3 възможности, а останалите три цифри се нареждат по 3! = 6 начина: 3·6 = 18.

4. Ученик решава първата задача с вероятност 0,7, а втората с вероятност 0,6, независимо една от друга. Каква е вероятността да реши поне една задача?

   • 0,42
   • 0,88
   • 0,46
   • 0,94

   Отговор: 0,88

   Противоположното събитие е да не реши нито една: 0,3·0,4 = 0,12. P = 1 − 0,12 = 0,88.

5. В квадрат със страна 2 cm случайно се избира точка. Каква е вероятността тя да е на разстояние по-малко от 1 cm от центъра на квадрата?

   • π/2
   • 1/2
   • π/4
   • 1/4

   Отговор: π/4

   Благоприятната област е кръг с радиус 1 cm и лице π cm², който се съдържа в квадрата с лице 4 cm². P = π/4.

Планиметрия и стереометрия

1. Намерете дължината на окръжност с радиус 4 cm.

   • 16π cm
   • 4π cm
   • 8 cm
   • 8π cm

   Отговор: 8π cm

   Дължината на окръжност е 2πr = 2·π·4 = 8π cm.

2. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm, а единият остър ъгъл е 30°. Намерете по-малкия катет.

   • 5 cm
   • 5√3 cm
   • 10√3/3 cm
   • 20 cm

   Отговор: 5 cm

   Катетът срещу ъгъла от 30° е половината от хипотенузата: 10/2 = 5 cm.

3. Страните на успоредник са 4 cm и 6 cm, а ъгълът между тях е 120°. Намерете лицето му.

   • 24 cm²
   • 12 cm²
   • 12√3 cm²
   • 6√3 cm²

   Отговор: 12√3 cm²

   S = a·b·sin γ = 4·6·sin 120° = 24·√3/2 = 12√3 cm².

4. Страните на триъгълник са a = 6 cm, b = 8 cm и c = 10 cm. Намерете медианата към страната c.

   • 7 cm
   • 5 cm
   • 4 cm
   • √73 cm

   Отговор: 5 cm

   m_c = (1/2)√(2a² + 2b² − c²) = (1/2)√(72 + 128 − 100) = (1/2)·10 = 5 cm. Триъгълникът е правоъгълен и медианата към хипотенузата е половината от нея.

5. Осното сечение на прав кръгов цилиндър е квадрат със страна 6 cm. Намерете обема на цилиндъра.

   • 216π cm³
   • 18π cm³
   • 54π cm³
   • 36π cm³

   Отговор: 54π cm³

   Диаметърът и височината са по 6 cm, затова r = 3 cm и h = 6 cm. V = πr²h = π·9·6 = 54π cm³.

Финален въпрос