Матура по математика: тренировъчен тест 10

Неравенства

1. Решете неравенството (x − 1)(x + 3) ≤ 0.

   • (−∞; −3] ∪ [1; +∞)
   • [−1; 3]
   • [−3; 1]
   • (−3; 1)

   Отговор: [−3; 1]

   Корените са −3 и 1. Произведението е неположително между корените, включително в тях.

2. Решете неравенството |2x + 1| ≤ 5.

   • [−2; 3]
   • (−∞; −3] ∪ [2; +∞)
   • (−3; 2)
   • [−3; 2]

   Отговор: [−3; 2]

   −5 ≤ 2x + 1 ≤ 5, −6 ≤ 2x ≤ 4, −3 ≤ x ≤ 2.

3. Решете неравенството 5^{x^{2} − 3} ≥ 5^2x.

   • (−∞; −1] ∪ [3; +∞)
   • [−1; 3]
   • (−∞; −3] ∪ [1; +∞)
   • [3; +∞)

   Отговор: (−∞; −1] ∪ [3; +∞)

   Основата 5 > 1, затова x² − 3 ≥ 2x, x² − 2x − 3 ≥ 0, (x + 1)(x − 3) ≥ 0.

4. Решете неравенството log_1/3(x + 1) ≥ −2.

   • (−1; 8]
   • [8; +∞)
   • (−∞; 8]
   • (−1; 5]

   Отговор: (−1; 8]

   ДМ: x > −1. −2 = log_1/39, а основата 1/3 < 1, затова знакът се обръща: x + 1 ≤ 9, x ≤ 8.

5. Решете неравенството |x² − x − 4| < 2.

   • (−2; 3)
   • (−1; 2)
   • (−2; −1) ∪ (2; 3)
   • (−∞; −1) ∪ (2; +∞)

   Отговор: (−2; −1) ∪ (2; 3)

   −2 < x² − x − 4 < 2. От x² − x − 2 > 0: x < −1 или x > 2. От x² − x − 6 < 0: −2 < x < 3. Сечението е (−2; −1) ∪ (2; 3).

Функции и производни

1. Дадена е функцията f(x) = 3 − x². Пресметнете f(−2).

   • 7
   • −1
   • 1
   • −7

   Отговор: −1

   f(−2) = 3 − (−2)² = 3 − 4 = −1.

2. Намерете производната на f(x) = x⁵/5 − x.

   • f′(x) = x⁴
   • f′(x) = x⁴ − 1
   • f′(x) = 5x⁴ − 1
   • f′(x) = x⁴/5 − 1

   Отговор: f′(x) = x⁴ − 1

   (x⁵/5)′ = 5x⁴/5 = x⁴, а (x)′ = 1.

3. В кой интервал функцията f(x) = x² − 8x + 3 е растяща?

   • (−∞; 4]
   • [−4; +∞)
   • [4; +∞)
   • [8; +∞)

   Отговор: [4; +∞)

   f′(x) = 2x − 8 ≥ 0 при x ≥ 4. Това е и абсцисата на върха на параболата.

4. Намерете най-голямата стойност на функцията f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 в интервала [−2; 2].

   • 7
   • 0
   • −20
   • 2

   Отговор: 7

   f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3). В интервала е само x = −1. f(−2) = 0, f(−1) = 7, f(2) = −20. Най-голямата стойност е 7.

5. В полуокръжност с радиус 5 cm е вписан правоъгълник, едната страна на който лежи на диаметъра. Колко е най-голямото възможно лице на правоъгълника?

   • 50 cm²
   • 25√2 cm²
   • 12,5 cm²
   • 25 cm²

   Отговор: 25 cm²

   Ако страната върху диаметъра е 2x, другата е √(25 − x²). S = 2x√(25 − x²), S² = 4x²(25 − x²) е най-голямо при x² = 12,5. Тогава S = 2·12,5 = 25 cm².

Тригонометрия

1. Пресметнете sin 45° · cos 45°.

   • 1/2
   • √2/2
   • 1
   • √2

   Отговор: 1/2

   sin 45° = cos 45° = √2/2, произведението е 2/4 = 1/2.

2. Пресметнете cos 330°.

   • √3/2
   • −√3/2
   • 1/2
   • −1/2

   Отговор: √3/2

   cos 330° = cos(360° − 30°) = cos 30° = √3/2.

3. Дадено е tg α = 2. Пресметнете tg 2α.

   • 4/3
   • 4
   • −4/3
   • −3/4

   Отговор: −4/3

   tg 2α = 2tg α/(1 − tg²α) = 4/(1 − 4) = −4/3.

4. Пресметнете sin 75° · cos 15°.

   • (2 + √3)/4
   • 1/2
   • √3/4
   • (2 − √3)/4

   Отговор: (2 + √3)/4

   sin 75° = cos 15°, затова изразът е cos²15° = (1 + cos 30°)/2 = (1 + √3/2)/2 = (2 + √3)/4.

5. Решете уравнението sin x + sin 3x = 0 в интервала [0°; 180°].

   • 90°
   • 0°, 90° и 180°
   • 0° и 180°
   • 0°, 45°, 90°, 135° и 180°

   Отговор: 0°, 90° и 180°

   sin x + sin 3x = 2sin 2x cos x = 4sin x cos²x. Нулите са при sin x = 0 (x = 0° и 180°) и cos x = 0 (x = 90°).

Статистика и вероятности

1. Намерете модата на данните 4, 6, 6, 3, 4, 6, 5.

   • 4
   • 5
   • 6
   • 3

   Отговор: 6

   Модата е най-често срещаната стойност. Числото 6 се среща 3 пъти.

2. Намерете размаха на данните 12, 7, 19, 3, 15.

   • 19
   • 16
   • 12
   • 22

   Отговор: 16

   Размахът е разликата между най-голямата и най-малката стойност: 19 − 3 = 16.

3. Зар се хвърля 3 пъти. Каква е вероятността и трите пъти да се падне шестица?

   • 1/18
   • 1/36
   • 1/216
   • 1/6

   Отговор: 1/216

   Хвърлянията са независими: (1/6)³ = 1/216.

4. От числата от 1 до 30 случайно се избира едно. Каква е вероятността то да е просто?

   • 3/10
   • 1/3
   • 11/30
   • 1/2

   Отговор: 1/3

   Простите числа до 30 са 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29, т.е. 10. P = 10/30 = 1/3.

5. Стрелец улучва мишената с вероятност 0,6 при всеки изстрел. Той стреля 3 пъти. Каква е вероятността да улучи поне 2 пъти?

   • 0,432
   • 0,936
   • 0,36
   • 0,648

   Отговор: 0,648

   P(точно 2) = 3·0,6²·0,4 = 0,432, P(точно 3) = 0,6³ = 0,216. Сборът е 0,648.

Планиметрия и стереометрия

1. Страните на правоъгълник са 5 cm и 12 cm. Намерете диагонала му.

   • 13 cm
   • 17 cm
   • 7 cm
   • √119 cm

   Отговор: 13 cm

   По Питагоровата теорема d = √(25 + 144) = √169 = 13 cm.

2. Страна на триъгълник е 14 cm. Намерете средната отсечка, успоредна на тази страна.

   • 14 cm
   • 28 cm
   • 7 cm
   • 3,5 cm

   Отговор: 7 cm

   Средната отсечка в триъгълник е равна на половината от успоредната ѝ страна: 14/2 = 7 cm.

3. В триъгълник страната c = 6 cm, а срещулежащият ъгъл γ = 120°. Намерете радиуса R на описаната окръжност.

   • 2√3 cm
   • 3 cm
   • 6 cm
   • 4√3 cm

   Отговор: 2√3 cm

   По синусовата теорема c = 2R·sin γ, R = 6/(2·√3/2) = 6/√3 = 2√3 cm.

4. Ромб има страна 10 cm и остър ъгъл 60°. Намерете по-малкия му диагонал.

   • 10√3 cm
   • 10 cm
   • 5 cm
   • 20 cm

   Отговор: 10 cm

   По-малкият диагонал разделя ромба на два равностранни триъгълника, затова е равен на страната: 10 cm.

5. Правилна четириъгълна призма има основен ръб 3 cm и диагонал 9 cm. Намерете обема ѝ.

   • 81 cm³
   • 27√7 cm³
   • 54√2 cm³
   • 9√7 cm³

   Отговор: 27√7 cm³

   Диагоналът на основата е 3√2 cm, височината е √(81 − 18) = √63 = 3√7 cm. V = 9·3√7 = 27√7 cm³.

Финален въпрос